Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember ile y=1y = 1 teğet doğrusu verilmiştir.

θ∈(π2,π)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere, başlangıç kenarı pozitif xx-ekseni olan yönlü θ\theta aç��sının bitim kolunun birim çemberi kestiği nokta PP, y=1y = 1 doğrusunu kestiği nokta ise KK'dir.

PP noktasının yy-ekseni üzerindeki dik izdüşümü HH ve birim çemberin yy-eksenini kestiği pozitif nokta A(0,1)A(0,1)'dir.

Buna göre, AHPKAHPK yamuğunun alanının θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. −cot⁡θcos⁡2θ2-\frac{\cot\theta \cos^2\theta}{2}Answer
  2. B
    cot⁡θcos⁡2θ2\frac{\cot\theta \cos^2\theta}{2}
  3. C
    −tan⁡θsin⁡2θ2-\frac{\tan\theta \sin^2\theta}{2}
  4. D
    tan⁡θsin⁡2θ2\frac{\tan\theta \sin^2\theta}{2}
  5. E
    −cot⁡θsin⁡2θ2-\frac{\cot\theta \sin^2\theta}{2}

Answer

−cot⁡θcos⁡2θ2-\frac{\cot\theta \cos^2\theta}{2}
İkinci bölgede cos⁡θ<0\cos\theta < 0 ve cot⁡θ<0\cot\theta < 0 olduğundan, yamuğun taban uzunlukları sırasıyla −cos⁡θ-\cos\theta ve −cot⁡θ-\cot\theta olur. Yükseklik ise 1−sin⁡θ1 - \sin\theta olarak bulunur. Alan formülü uygulanıp sadeleştirildiğinde alan −cot⁡θcos⁡2θ2-\frac{\cot\theta \cos^2\theta}{2} olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Açının bölgesini ve fonksiyonların işaretlerini belirleme
θ∈(π2,π)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olduğundan açı ikinci bölgededir. Bu bölgede sin⁡θ>0\sin\theta > 0, cos⁡θ<0\cos\theta < 0 ve cot⁡θ<0\cot\theta < 0 olur.
Geometrik uzunluklar daima pozitif olmalıdır. Bu yüzden koordinat değerlerini uzunluğa çevirirken bölgeye göre işaret analizi yapılması gerekir.
2
PP ve KK noktalarının koordinatlarını bulma
PP noktası birim çember üzerinde olduğundan koordinatları P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta)'dir. KK noktası ise terminal doğrusunun y=1y = 1 doğrusunu kestiği nokta olduğundan, yK=1y_K = 1 ve xK=cot⁡θx_K = \cot\theta olup K(cot⁡θ,1)K(\cot\theta, 1)'dir.
Yamuğun köşe koordinatlarını belirlemek, taban ve yükseklik uzunluklarını hesaplamamızı sağlar.
3
Yamuğun taban uzunluklarını ve yüksekliğini hesaplama
Yamuğun tabanları y-eksenine paralel dik izdüşümler arasındaki yatay uzaklıklardır: Üst taban AK=0−cot⁡θ=−cot⁡θAK = 0 - \cot\theta = -\cot\theta, alt taban HP=0−cos⁡θ=−cos⁡θHP = 0 - \cos\theta = -\cos\theta. Yükseklik ise y-ekseni üzerindeki dikey uzaklıktır: AH=yA−yH=1−sin⁡θAH = y_A - y_H = 1 - \sin\theta olarak bulunur.
Yamuğun alan formülü olan a+c2⋅h\frac{a+c}{2} \cdot h ifadesini uygulamak için gerekli tüm geometrik uzunlukları elde etmek.
4
Yamuğun alanını hesaplama ve trigonometrik olarak sadeleştirme
Alan(AHPK)=(−cot⁡θ)+(−cos⁡θ)2⋅(1−sin⁡θ)=−cos⁡θ(1+sin⁡θ)2sin⁡θ⋅(1−sin⁡θ)=−cos⁡θ(1−sin⁡2θ)2sin⁡θ=−cos⁡3θ2sin⁡θ=−cot⁡θcos⁡2θ2\text{Alan}(AHPK) = \frac{(-\cot\theta) + (-\cos\theta)}{2} \cdot (1 - \sin\theta) = -\frac{\cos\theta(1 + \sin\theta)}{2\sin\theta} \cdot (1 - \sin\theta) = -\frac{\cos\theta(1 - \sin^2\theta)}{2\sin\theta} = -\frac{\cos^3\theta}{2\sin\theta} = -\frac{\cot\theta\cos^2\theta}{2}
Yamuk alan formülünü uygulayıp sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 özdeşliğini kullanarak en sade hali bulmak.

Key Concept

Birim çember üzerindeki noktaların ve teğet doğrularının kestikleri noktaların koordinatlarının trigonometrik fonksiyonlar cinsinden ifade edilmesi ve bölgelere göre işaret analizi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

More questions from this topic