Examkin

Question

Difficulty: HardParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Aşağıda sol sütunda verilen parabol denklemleri ile sağ sütunda verilen ve bu parabollerin koordinat eksenlerini kestiği noktalarla ilgili olan geometrik ve analitik özellikleri doğru şekilde eşleştiriniz.

  • f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5Eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı 113\frac{11}{3}'tür.
  • g(x)=x2−2x−8g(x) = x^2 - 2x - 8Eksenleri kestiği noktaların orijine olan uzaklıklarının toplamı 1414 birimdir.
  • h(x)=−x2+x+6h(x) = -x^2 + x + 6Eksenleri kestiği noktalardan geçen doğrulardan eğimi pozitif olanın eğimi 33'tür.

Answer

Sol sütundaki birinci parabol, eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı 11/3 olan özellik ile; ikinci parabol, eksenleri kestiği noktaların orijine olan uzaklıkları toplamı 14 birim olan özellik ile; üçüncü parabol ise eksenleri kestiği noktalardan geçen doğrulardan eğimi pozitif olanın eğiminin 3 olduğu özellik ile eşleşmektedir.
Verilen parabollerin eksenleri kestiği noktalar tek tek bulunup analitik geometri kuralları uygulandığında; birinci parabolün eksen kesim noktalarından oluşan üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı 11/3, ikinci parabolün eksen kesim noktalarının orijine uzaklıkları toplamı 14 birim, üçüncü parabolün ise eksen kesim noktalarından geçen doğruların pozitif olanının eğimi 3 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci parabolün (f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5) eksenleri kestiği noktaları ve bu noktaların oluşturduğu üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarını bulalım.
x=0⇒y=5x = 0 \Rightarrow y = 5 olduğundan yy-eksenini kestiği nokta (0,5)(0, 5)'tir. y=0⇒x2−6x+5=0⇒(x−1)(x−5)=0y = 0 \Rightarrow x^2 - 6x + 5 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-5) = 0 denkleminden xx-eksenini kestiği noktalar (1,0)(1, 0) ve (5,0)(5, 0) olarak bulunur. Köşeleri A(1,0)A(1, 0), B(5,0)B(5, 0) ve C(0,5)C(0, 5) olan üçgenin ağırlık merkezi G(1+5+03,0+0+53)=G(2,53)G\left(\frac{1+5+0}{3}, \frac{0+0+5}{3}\right) = G\left(2, \frac{5}{3}\right) olur. Koordinatlar toplamı ise 2+53=1132 + \frac{5}{3} = \frac{11}{3}'tür.
Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için sırasıyla x=0x=0 ve y=0y=0 değerleri verilir. Üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları köşelerin koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
2
İkinci parabolün (g(x)=x2−2x−8g(x) = x^2 - 2x - 8) eksenleri kestiği noktaları ve bu noktaların orijine olan uzaklıklarının toplamını hesaplayalım.
x=0⇒y=−8x = 0 \Rightarrow y = -8 olduğundan yy-eksenini kestiği nokta (0,−8)(0, -8)'dir. y=0⇒x2−2x−8=0⇒(x−4)(x+2)=0y = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) = 0 denkleminden xx-eksenini kestiği noktalar (4,0)(4, 0) ve (−2,0)(-2, 0) olarak bulunur. Bu noktaların orijine olan uzaklıkları sırasıyla ∣−8∣=8|-8| = 8 birim, ∣4∣=4|4| = 4 birim ve ∣−2∣=2|-2| = 2 birimdir. Toplam uzaklık ise 8+4+2=148 + 4 + 2 = 14 birimdir.
Eksenler üzerindeki noktaların orijine olan uzaklığı, sıfır dışındaki koordinatın mutlak değerine eşittir.
3
Üçüncü parabolün (h(x)=−x2+x+6h(x) = -x^2 + x + 6) eksenleri kestiği noktaları bulalım ve bu noktalardan geçen doğruların eğimlerini inceleyelim.
x=0⇒y=6x = 0 \Rightarrow y = 6 olduğundan yy-eksenini kestiği nokta (0,6)(0, 6)'dır. y=0⇒−x2+x+6=0⇒x2−x−6=0⇒(x−3)(x+2)=0y = 0 \Rightarrow -x^2 + x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0 denkleminden xx-eksenini kestiği noktalar (3,0)(3, 0) ve (−2,0)(-2, 0) olarak bulunur. Bu noktaların ikişerli birleştirilmesiyle elde edilen doğruların eğimleri: xx-ekseninin eğimi 00, (−2,0)(-2,0) ve (0,6)(0,6) noktalarından geçen doğrunun eğimi 6−00−(−2)=3\frac{6-0}{0-(-2)} = 3, (3,0)(3,0) ve (0,6)(0,6) noktalarından geçen doğrunun eğimi ise 6−00−3=−2\frac{6-0}{0-3} = -2 olur. Pozitif eğimli olan doğrunun eğimi 33 olarak belirlenir.
İki noktası bilinen doğrunun eğimi ordinatlar farkının apsisler farkına oranıyla hesaplanır.

Key Concept

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve bu noktaların analitik/geometrik özelliklerinin incelenmesi
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

More questions from this topic