Examkin

Question

Difficulty: HardSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları
a, b ve c birer gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−ax+bx2−4x+3f(x) = \frac{x^2 - ax + b}{x^2 - 4x + 3}
fonksiyonu tanımlanıyor.
g(x)={f(x),x≠3c,x=3g(x) = \begin{cases} f(x), & x \neq 3 \\ c, & x = 3 \end{cases}
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonu x=1x = 1 hariç tüm gerçel sayılarda süreklidir.
Buna göre, a+2ca + 2c toplamı kaçtır?
  1. A
    4
  2. B
    5
  3. 6Answer
  4. D
    8
  5. E
    9

Answer

İstenen toplamın değeri 6'dır.
Doğru cevap olan seçenekteki değer, fonksiyonun x=3x=3 noktasında sürekli olabilmesi için limitinin var olması ve bu limitin g(3)=cg(3)=c değerine eşit olması şartından yola çıkılarak bulunur. Payda x=3x=3 için sıfır olduğundan payın da x=3x=3 köküne sahip olması gerekir. Pay (x−3)(x−k)(x-3)(x-k) şeklinde yazılıp limit alındığında c=3−k2c = \frac{3-k}{2} ve a=k+3a = k+3 bulunur. Buradan a+2c=6a+2c = 6 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
gg fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları belirlemek için tanım kümesini ve parçalı yapıyı analiz edin.
g(x)g(x) fonksiyonu x≠3x \neq 3 için f(x)f(x) rasyonel fonksiyonuna eşittir. f(x)f(x) fonksiyonunun paydası x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) şeklindedir. Dolayısıyla f(x)f(x) fonksiyonu x=1x = 1 ve x=3x = 3 noktalarında tanımsızdır.
Bir rasyonel fonksiyon paydasını sıfır yapan noktalarda tanımsızdır ve bu noktalarda sürekli olamaz.
2
x=3x = 3 noktasındaki süreklilik koşulunu uygulayın.
g(x)g(x) fonksiyonu x=3x = 3 noktasında cc değerini alır. Soruda gg fonksiyonunun yalnızca x=1x = 1 noktasında süreksiz olduğu belirtilmiştir. Bu durum, gg fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında sürekli olması gerektiği anlamına gelir. Süreklilik tanımı gereği, lim⁡x→3g(x)=g(3)=c\lim_{x \to 3} g(x) = g(3) = c olmalıdır.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki limitinin var olması ve fonksiyon değerine eşit olması gerekir.
3
x→3x \to 3 limitinin var olabilmesi için pay ve payda arasındaki ilişkiyi kurarak aa parametresini belirleyin.
lim⁡x→3g(x)=lim⁡x→3x2−ax+b(x−1)(x−3)\lim_{x \to 3} g(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - ax + b}{(x-1)(x-3)} limitinin bir gerçel sayıya eşit olması için, payda x→3x \to 3 iken sıfıra gittiğinden, payın da sıfıra gitmesi gerekir (0/00/0 belirsizliği). Buradan x=3x = 3 değerinin payın bir kökü olması gerektiği anlaşılır. Dolayısıyla x2−ax+b=(x−3)(x−k)x^2 - ax + b = (x-3)(x-k) şeklinde yazılabilir. Buradan a=k+3a = k + 3 ve b=3kb = 3k elde edilir.
Payda sıfıra yaklaşırken limitin gerçel sayı olması ancak payın da aynı çarpanı içermesiyle (yani sıfıra yaklaşmasıyla) mümkündür.
4
cc değerini kk cinsinden hesaplayın ve a+2ca + 2c toplamını bulun.
Limit ifadesini sadeleştirerek hesaplayalım:
lim⁡x→3(x−3)(x−k)(x−1)(x−3)=lim⁡x→3x−kx−1=3−k3−1=3−k2\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x-k)}{(x-1)(x-3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-k}{x-1} = \frac{3-k}{3-1} = \frac{3-k}{2}
Bu limit değeri cc değerine eşit olmalıdır. Buradan c=3−k2  ⟹  2c=3−kc = \frac{3-k}{2} \implies 2c = 3 - k elde edilir.
a=k+3a = k + 3 olduğunu biliyoruz. O halde,
a+2c=(k+3)+(3−k)=6a + 2c = (k + 3) + (3 - k) = 6 bulunur.
Bulunan aa ve cc değerleri kk değişkenine bağlı olarak toplanırsa, kk değerleri birbirini götürür ve toplam sabit bir değer olan 6'ya ulaşır.

Key Concept

Rasyonel fonksiyonlarda süreklilik tanımı, belirsizlik giderilmesi ve süreksizlik noktalarının belirlenmesi.
Rate this question

Topics

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

More questions from this topic