Examkin

Question

Difficulty: MediumParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=−x2+(m−3)x+2m+3f(x) = -x^2 + (m-3)x + 2m + 3
parabolünün yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı, xx-eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamına eşittir.

Buna göre, bu parabolün xx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?

  1. 353\sqrt{5}Answer
  2. B
    262\sqrt{6}
  3. C
    21\sqrt{21}
  4. D
    252\sqrt{5}
  5. E
    333\sqrt{3}

Answer

Parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 3\sqrt{5} birimdir.
Parabolün y-eksenini kestiği nokta x = 0 için y = 2m + 3 olarak bulunur. Parabolün x-eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı ise kökler toplamı formülünden x_1 + x_2 = m - 3 olur. Bu iki değer birbirine eşitlendiğinde m = -6 olarak elde edilir. Buradan parabol denklemi f(x) = -x^2 - 9x - 9 şeklinde bulunur. x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık, f(x) = 0 denkleminin kökleri arasındaki fark olup \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} formülüyle hesaplanır. Diskriminant \Delta = 81 - 36 = 45 olduğundan uzaklık \sqrt{45} = 3\sqrt{5} birimdir.

Step-by-Step Solution

1
y-eksenini kestiği noktanın ordinatını belirleyin.
y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 2m + 3 olur.
Bir fonksiyonun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı x = 0 yazılarak bulunur.
2
x-eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamını kökler toplamı formülüyle ifade edin.
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{m-3}{-1} = m-3 olur.
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar, f(x) = 0 denkleminin kökleridir.
3
Ordinat değerini kökler toplamına eşitleyerek m parametresini bulun.
2m + 3 = m - 3 \implies m = -6 bulunur.
Soruda y-eksenini kestiği noktanın ordinatının, x-eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamına eşit olduğu verilmiştir.
4
m değerini parabol denkleminde yerine yazın.
f(x) = -x^2 - 9x - 9 elde edilir.
Uzaklık hesabı yapabilmek için parabolün cebirsel ifadesi netleştirilmelidir.
5
x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığı kökler farkı formülüyle hesaplayın.
\Delta = (-9)^2 - 4(-1)(-9) = 81 - 36 = 45 olur. Noktalar arasındaki uzaklık \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \frac{\sqrt{45}}{|-1|} = 3\sqrt{5} birimdir.
İkinci dereceden denklemlerde kökler arasındaki uzaklık \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} formülüyle hesaplanır.

Key Concept

Parabolün eksenleri kestiği noktaların analitik ve cebirsel ilişkisi

Alternative Method

f(x) = 0 denklemini çarpanlarına ayırmak yerine doğrudan tam kareye tamamlama yöntemi kullanılabilir. f(x) = -(x + 9/2)^2 + 45/4 yazıldığında, y = 0 için (x + 9/2)^2 = 45/4 bulunur. Buradan x + 9/2 = \pm \frac{3\sqrt{5}}{2} elde edilir. İki kök arasındaki fark ise doğrudan 3\sqrt{5} olarak bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

More questions from this topic