Examkin

Question

Difficulty: MediumSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={x2−4x−2,x<2ax+b,2≤x≤5x2−3x−10x−5,x>5f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2}, & x < 2 \\ ax + b, & 2 \le x \le 5 \\ \frac{x^2 - 3x - 10}{x - 5}, & x > 5 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Answer: 2

Answer

f fonksiyonunun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik noktalarda limitlerinin ve fonksiyon değerlerinin eşit olması gerekir. Buradan elde edilen denklem sisteminin çözümünden a = 1 ve b = 2 bulunur. Dolayısıyla a * b çarpımının değeri 2'dir.
Fonksiyonun x = 2 noktasındaki sol limiti 4 ve x = 5 noktasındaki sağ limiti 7'dir. Süreklilik tanımı gereği, bu noktalardaki fonksiyon değerleri de sırasıyla bu limit değerlerine eşit olmalıdır. Buradan elde edilen 2a + b = 4 ve 5a + b = 7 denklemleri çözüldüğünde a = 1 ve b = 2 bulunur. Çarpımları ise 2'dir.

Step-by-Step Solution

1
x = 2 kritik noktasındaki süreklilik şartını incelemek için sol limit ile fonksiyon değerini eşitleyin.
2a + b = 4 denklemi elde edilir.
x = 2 noktasında fonksiyonun sürekli olması için o noktadaki limitinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. x < 2 için f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) ifadesi x - 2 sadeleştirmesi ile x + 2 olur ve sol limit 4 olarak bulunur.
2
x = 5 kritik noktasındaki süreklilik şartını incelemek için sağ limit ile fonksiyon değerini eşitleyin.
5a + b = 7 denklemi elde edilir.
x = 5 noktasında fonksiyonun sürekli olması için o noktadaki limitinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. x > 5 için f(x) = (x^2 - 3x - 10)/(x - 5) ifadesi x - 5 sadeleştirmesi ile x + 2 olur ve sağ limit 7 olarak bulunur.
3
Elde edilen 2a + b = 4 ve 5a + b = 7 denklem sistemini çözerek a ve b değerlerini bulun.
a = 1 ve b = 2 olarak bulunur. Buradan a * b = 2 elde edilir.
İki bilinmeyenli iki denklemi taraf tarafa çıkararak a'yı, ardından yerine yazarak b'yi bulup çarpım değerini hesaplarız.

Key Concept

Bir parçalı fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik noktalarında tanımlı olması, bu noktalarda limitinin bulunması ve limit değerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir. Ayrıca rasyonel ifadelerde tanımsızlık oluşturan sadeleşebilir çarpanlar limit hesabında dikkate alınmalıdır.
Rate this question

Topics

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

More questions from this topic