Examkin

Question

Difficulty: MediumGeometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bir laboratuvar ortamında bulunan bir bakteri türünün sayısı her bir saatin sonunda 33 katına çıkmaktadır. Başlangıçta (00. saatte) ortamda 22 adet bakteri bulunmaktadır.

Buna göre, 11. saatin sonundan 66. saatin sonuna kadar (11. ve 66. saatler dahil) her saatin sonunda ortamda bulunan bakteri sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    726
  2. B
    728
  3. 2184Answer
  4. D
    2186
  5. E
    4392

Answer

2184
Bakteri sayısı her saat sonunda 33 katına çıktığı için bu durum ortak çarpanı r=3r = 3 olan geometrik bir dizi belirtir. 11. saatin sonundaki bakteri sayısı dizinin ilk terimi olup a1=2×3=6a_1 = 2 \times 3 = 6 değerine eşittir. 11. saatin sonundan 66. saatin sonuna kadar olan toplam bakteri sayısı, bu dizinin ilk 66 teriminin toplamı olan S6S_6 değeridir. Geometrik dizilerde ilk nn terim toplamı formülü Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} olduğundan, S6=6⋅36−13−1=3⋅(729−1)=2184S_6 = 6 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 3 \cdot (729 - 1) = 2184 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin ilk terimini ve ortak çarpanını belirlemek
Dizinin ilk terimi a1=6a_1 = 6 ve ortak çarpanı r=3r = 3 olarak belirlenir.
Başlangıçta (00. saatte) 22 bakteri varken 11. saatin sonunda bakteri sayısı 33 katına çıkarak a1=2×3=6a_1 = 2 \times 3 = 6 olur. Her saatin sonunda bakteri sayısı 33 katına çıktığı için ortak çarpan r=3r = 3 olan bir geometrik dizi oluşur.
2
İstenen terimlerin toplamını formüle dökmek
S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1⋅r6−1r−1S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = a_1 \cdot \frac{r^6 - 1}{r - 1} toplamı hesaplanmalıdır.
11. saatin sonundan 66. saatin sonuna kadar olan toplam bakteri sayısı, bu dizinin ilk 66 teriminin toplamına (S6S_6) karşılık gelir.
3
Değerleri formülde yerine koyarak sonucu hesaplamak
S6=6⋅36−13−1=6⋅729−12=3⋅728=2184S_6 = 6 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 6 \cdot \frac{729 - 1}{2} = 3 \cdot 728 = 2184 bulunur.
a1=6a_1 = 6 ve r=3r = 3 değerleri geometrik dizi toplam formülünde yerine yazılarak aritmetik işlemler tamamlanır.

Key Concept

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplam formülü
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

More questions from this topic