Examkin

Question

Difficulty: MediumYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
f:[−2,6]→Rf: [-2, 6] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5

fonksiyonunun mutlak maksimum değeri ile mutlak minimum değerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    9
  2. B
    -12
  3. 37Answer
  4. D
    53
  5. E
    62

Answer

Mutlak maksimum değeri ile mutlak minimum değerinin toplamı 37'dir.
Fonksiyonun verilen kapalı aralıktaki mutlak maksimum değeri uç nokta olan 6 için 59, mutlak minimum değeri ise kritik nokta olan 3 için -22 olup, bu değerlerin toplamı 37 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları (türevin sıfır olduğu yerleri) bulunuz.
f′(x)=3x2−6x−9=3(x2−2x−3)=3(x−3)(x+1)=0f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1) = 0 denkleminin kökleri x=−1x = -1 ve x=3x = 3 olarak bulunur. Her iki nokta da [−2,6][-2, 6] tanım aralığındadır.
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum adayları, türevin sıfır olduğu kritik noktalardır.
2
Kritik noktalardaki ve tanım aralığının uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini hesaplayınız.
Uç noktalardaki değerler:
f(−2)=(−2)3−3(−2)2−9(−2)+5=−8−12+18+5=3f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) + 5 = -8 - 12 + 18 + 5 = 3
f(6)=63−3(62)−9(6)+5=216−108−54+5=59f(6) = 6^3 - 3(6^2) - 9(6) + 5 = 216 - 108 - 54 + 5 = 59

Kritik noktalardaki değerler:
f(−1)=(−1)3−3(−1)2−9(−1)+5=−1−3+9+5=10f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10
f(3)=33−3(32)−9(3)+5=27−27−27+5=−22f(3) = 3^3 - 3(3^2) - 9(3) + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22
olarak bulunur.
Sürekli bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki mutlak ekstremum değerleri, yerel ekstremum noktalarında veya aralığın uç noktalarında gerçekleşir.
3
Hesaplanan değerleri karşılaştırarak mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini belirleyip toplayınız.
Hesaplanan değerler arasından en büyüğü 5959 (mutlak maksimum), en küçüğü ise −22-22 (mutlak minimum) olur. Bu değerlerin toplamı:
59+(−22)=3759 + (-22) = 37
olarak elde edilir.
Soru kökünde bizden mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerinin toplamı istenmektedir.

Key Concept

Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki mutlak ekstremum değerlerini bulmak için, fonksiyonun aralıktaki kritik noktalarında aldığı değerler ile aralığın uç noktalarında aldığı değerler hesaplanıp karşılaştırılır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic