Examkin

Question

Difficulty: Very hardParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2ax+a2−4af(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 4a
fonksiyonunun [0,3][0, 3] kapalı aralığındaki en küçük de��eri g(a)g(a) olarak tanımlanıyor.

Buna göre, a∈[−1,6]a \in [-1, 6] için g(a)g(a) fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    9
  3. 5Answer
  4. D
    12
  5. E
    20

Answer

g(a) fonksiyonunun alabilece��i en büyük değer 5'tir.
Doğru olan 5 değeri; tepe noktasının apsisi olan aa parametresinin [0,3][0, 3] aralığının solunda kaldığı (a<0a < 0) durum analiz edilerek elde edilir. Bu durumda g(a)=a2−4ag(a) = a^2 - 4a fonksiyonu geçerlidir ve a=−1a = -1 için bu ifade 5 değerine ulaşarak [−1,6][-1, 6] aralığındaki en büyük değeri verir.

Step-by-Step Solution

1
f(x)f(x) fonksiyonunu tam kareye tamamlayarak tepe noktasının konumunu belirleme.
f(x)=(x−a)2−4af(x) = (x - a)^2 - 4a parabolünün tepe noktasının apsisi r=ar = a ve ordinatı k=−4ak = -4a olarak elde edilir.
Kolları yukarı doğru olan bu parabolün [0,3][0, 3] aralığındaki en küçük değerinin nerede oluştuğunu belirlemek için tepe noktası apsisi olan aa'nın aralığa göre konumunu incelemeliyiz.
2
aa tepe noktası apsisinin [0,3][0, 3] aralığının solunda (a<0a < 0) olması durumunu inceleme.
a<0a < 0 ise tepe noktası [0,3][0, 3] aralığının solundadır. Parabol bu aralıkta artan olduğundan, en küçük değerini sol uçta (x=0x = 0) alır: g(a)=f(0)=a2−4ag(a) = f(0) = a^2 - 4a.
Tepe noktası aralığın dışındayken fonksiyon aralık boyunca monoton artandır, dolayısıyla minimum değer sol sınırda oluşur.
3
aa tepe noktası apsisinin [0,3][0, 3] aralığının içinde (0≤a≤30 \le a \le 3) olması durumunu inceleme.
0≤a≤30 \le a \le 3 ise tepe noktası aralığın içindedir. Parabol en küçük değerini tepe noktasında alır: g(a)=f(a)=−4ag(a) = f(a) = -4a.
Kolları yukarı bakan bir parabol, tepe noktası tanımlı olduğu aralıkta kaldığında en küçük değerini tepe noktasının ordinatında alır.
4
aa tepe noktası apsisinin [0,3][0, 3] aralığının sağında (a>3a > 3) olması durumunu inceleme.
a>3a > 3 ise tepe noktası [0,3][0, 3] aralığının sağındadır. Parabol bu aralıkta azalan olduğundan, en küçük değerini sağ uçta (x=3x = 3) alır: g(a)=f(3)=32−2a(3)+a2−4a=a2−10a+9g(a) = f(3) = 3^2 - 2a(3) + a^2 - 4a = a^2 - 10a + 9.
Tepe noktası aralığın sağında kaldığında parabol bu aralıkta monoton azalandır, bu yüzden en küçük değerini sağ sınırda alır.
5
g(a)g(a) parçalı fonksiyonunun [−1,6][-1, 6] aralığındaki maksimum değerini hesaplama.
Bölgeleri ayrı ayrı inceleriz:
1) a∈[−1,0)a \in [-1, 0) için g(a)=a2−4ag(a) = a^2 - 4a azalandır. En büyük değer a=−1a = -1 için g(−1)=1+4=5g(-1) = 1 + 4 = 5 olur.
2) a∈[0,3]a \in [0, 3] için g(a)=−4ag(a) = -4a azalandır. En büyük değer a=0a = 0 için g(0)=0g(0) = 0 olur.
3) a∈(3,6]a \in (3, 6] için g(a)=a2−10a+9g(a) = a^2 - 10a + 9 parabolünün tepe noktası a=5a = 5'tedir (burada g(5)=−16g(5) = -16 minimumdur). Uç noktalara bakıldığında g(3)=−12g(3) = -12 ve g(6)=−15g(6) = -15 olur. Bu aralıktaki değerler [−16,−12)[-16, -12) aralığındadır.
Tüm aralıklar karşılaştırıldığında, en büyük değer 5 olarak bulunur.
Parçalı tanımlanmış g(a)g(a) fonksiyonunun her bir bölgedeki maksimum değerlerini karşılaştırarak mutlak maksimum değeri elde ederiz.

Key Concept

Parabolün kapalı aralıktaki minimum değerinin tepe noktası konumuna göre değişimi ve parçalı fonksiyonlarda maksimum değer analizi.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

More questions from this topic