Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x+cos⁡xb=tan⁡x+cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \tan x + \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}
olarak veriliyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
  1. 1b=tan⁡x+cot⁡xb = \tan x + \cot x
  2. 2c=sin⁡x⋅cos⁡xc = \sin x \cdot \cos x
  3. 3a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x

Answer

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
Verilen aralıkta bb ifadesi iki negatif sayının toplamı olup en küçük değeri alır (b≤−2b \le -2). cc ifadesi biri pozitif diğeri negatif iki sayının çarpımı olup negatif bir değerdir fakat −0.5-0.5 ile 00 arasındadır. aa ifadesinde ise sinüs mutlak değerce kosinüsten büyük olduğu için toplam pozitiftir (a>0a > 0). Bu nedenle en küçük değer bb, ardından cc ve en büyük değer aa olup doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
Açının bulunduğu aralığa göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleme
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı 2. bölgenin ilk yarısına (90∘<x<135∘90^\circ < x < 135^\circ) karşılık gelir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x<0\tan x < 0 ve cot⁡x<0\cot x < 0 olur.
Trigonometrik ifadelerin işaretlerini ve birbirlerine kıyasla mutlak değer büyüklüklerini belirlemek sıralamanın ilk adımıdır.
2
Verilen ifadelerin değer aralıklarını analiz etme
a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x ifadesinde sin⁡x>∣cos⁡x∣\sin x > |\cos x| olduğundan toplam pozitif olur (a>0a > 0). b=tan⁡x+cot⁡xb = \tan x + \cot x ifadesinde her iki terim de negatif olduğundan toplam negatiftir; ayrıca ∣tan⁡x∣+∣cot⁡x∣≥2|\tan x| + |\cot x| \ge 2 olduğundan b≤−2b \le -2 elde edilir. c=sin⁡x⋅cos⁡x=12sin⁡(2x)c = \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) ifadesinde 2x∈(π,3π2)2x \in (\pi, \frac{3\pi}{2}) olduğundan üçüncü bölgedeki sinüs değerine bağlı olarak −0.5<c<0-0.5 < c < 0 bulunur.
Her bir ifadenin sayı doğrusundaki yerini belirlemek için trigonometrik özdeşlikler ve eşitsizlikler kullanılır.
3
Değerleri karşılaştırarak nihai sıralamaya ulaşma
b≤−2<c<0<ab \le -2 < c < 0 < a aralıkları birleştirildiğinde küçükten büyüğe sıralama b<c<ab < c < a olur.
Elde edilen değer aralıkları kesişmediği için kesin bir sıralama yapılmasına olanak tanır.

Key Concept

Trigonometrik Değerlerin İşaretleri ve Bölgeye Göre Sıralanması

Alternative Method

Verilen aralıktan özel bir değer seçilerek (örneğin x=120∘x = 120^\circ) değerler doğrudan hesaplanabilir: a=3−12≈0.366a = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \approx 0.366, b=−3−13≈−2.31b = -\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \approx -2.31, c=−34≈−0.433c = -\frac{\sqrt{3}}{4} \approx -0.433 bulunur ve buradan b<c<ab < c < a sıralaması kolaylıkla görülebilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

More questions from this topic