Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x) = x^2 + 2 fonksiyonu için [1, 3] kapalı aralığ… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = x^2 + 2$ fonksiyonu için $[1, 3]$ kapalı aralığı 4 eş alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann alt toplamı $L$ , Riemann üst toplamı $U$ ve fonksiyonun bu aralıktaki belirli integral değeri $I$ olmak üzere, $U - I > I - L$ eşitsizliği sağlanmaktadır ifadesi doğru mudur?

Answer: Answer

Answer

Verilen ifade doğrudur. f(x) = x^2 + 2 fonksiyonu [1, 3] aralığında artan ve dışbükey olduğundan U - I > I - L eşitsizliği sağlanır.

Verilen fonksiyon artan ve dışbükey (konveks) olduğundan, Riemann üst toplamı ile integral arasındaki fark, integral ile Riemann alt toplamı arasındaki farktan büyüktür. Sayısal olarak hesaplandığında da bu eşitsizlik doğrulanmaktadır.

Step-by-Step Solution

Alt aralıkların genişliğini (\Delta x) hesaplama

\Delta x = 0.5

Toplam aralık uzunluğu olan 3 - 1 = 2 birimlik mesafe, 4 eş alt aralığa bölündüğü için her bir aralığın genişliği 2/4 = 0.5 olur.

Belirlenen alt aralıkların uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini bulma

f(1) = 3, f(1.5) = 4.25, f(2) = 6, f(2.5) = 8.25, f(3) = 11

Riemann alt ve üst toplamlarını hesaplamak için bu uç noktalardaki fonksiyon değerlerine ihtiyaç duyulur.

Riemann alt toplamı L ve Riemann üst toplamı U değerlerini hesaplama

L = 10.75 ve U = 14.75

f(x) artan olduğu için alt toplamda sol uç noktalar (1, 1.5, 2, 2.5), üst toplamda ise sağ uç noktalar (1.5, 2, 2.5, 3) kullanılır.

Belirli integral I değerini hesaplama

I = \frac{38}{3} \approx 12.67

Fonksiyonun grafiği altındaki gerçek alanı bulmak için integral alınır.

U - I ve I - L farklarını karşılaştırarak eşitsizliğin doğruluğunu kontrol etme

U - I = \frac{25}{12} ve I - L = \frac{23}{12} olduğundan U - I > I - L eşitsizliği doğrudur.

Elde edilen sayısal değerler karşılaştırıldığında eşitsizliğin sağlandığı görülür.

Key Concept

Riemann alt ve üst toplamlarının belirli integral ile ilişkisi ve dışbükey fonksiyonlarda fark analizi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic