Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

log⁡35=a\log_3 5 = a ve log⁡52=b\log_5 2 = b olduğuna göre, log⁡1524\log_{15} 24 ifadesinin aa ve bb türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 3ab+1a+1\frac{3ab + 1}{a + 1}Answer
  2. B
    3b+aa+1\frac{3b + a}{a + 1}
  3. C
    ab+3a+1\frac{ab + 3}{a + 1}
  4. D
    3ab+13ab + 1
  5. E
    3ab+aa+1\frac{3ab + a}{a + 1}

Answer

3ab+1a+1\frac{3ab + 1}{a + 1}
İstenen log⁡1524\log_{15} 24 ifadesi 5 tabanına göre yazıldığında log⁡524log⁡515\frac{\log_5 24}{\log_5 15} elde edilir. Pay kısmındaki log⁡524\log_5 24 ifadesi 3log⁡52+log⁡533\log_5 2 + \log_5 3 şeklinde açılıp değerler yerine yazıldığında 3ab+1a\frac{3ab + 1}{a} olur. Payda kısmındaki log⁡515\log_5 15 ifadesi ise log⁡55+log⁡53\log_5 5 + \log_5 3 şeklinde açılıp değerler yerine yazıldığında a+1a\frac{a+1}{a} olur. Bu iki değerin birbirine oranlanmasıyla aranan doğru ifadeye ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen logaritma ifadelerinin tabanlarını incelemek ve uygun bir ortak taban seçmek.
Soruda verilen log⁡35=a\log_3 5 = a ve log⁡52=b\log_5 2 = b ifadelerinden ortak olan sayı 5'tir. Bu nedenle log⁡1524\log_{15} 24 ifadesini taban değiştirme kuralı yardımıyla 5 tabanında yazmak kolaylık sağlayacaktır.
Taban değiştirme kuralı olan log⁡xy=log⁡zylog⁡zx\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x} özelliğini uygulamak için ortak taban belirlenir.
2
Verilen ifadeleri 5 tabanına göre düzenlemek.
log⁡35=a  ⟹  log⁡53=1a\log_3 5 = a \implies \log_5 3 = \frac{1}{a} olur. Diğer taraftan log⁡52=b\log_5 2 = b olarak kalır.
log⁡xy=1log⁡yx\log_x y = \frac{1}{\log_y x} özelliği kullanılarak bilinen değerler 5 tabanına dönüştürülür.
3
log⁡1524\log_{15} 24 ifadesine 5 tabanına göre taban değiştirme kuralı uygulamak.
log⁡1524=log⁡524log⁡515\log_{15} 24 = \frac{\log_5 24}{\log_5 15} elde edilir.
İstenen ifadeyi bilinen tabana dönüştürerek sadeleştirmek hedeflenir.
4
Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırarak logaritmanın özelliklerini uygulamak.
Pay için: log⁡524=log⁡5(23⋅3)=log⁡5(23)+log⁡53=3log⁡52+log⁡53=3b+1a=3ab+1a\log_5 24 = \log_5 (2^3 \cdot 3) = \log_5 (2^3) + \log_5 3 = 3\log_5 2 + \log_5 3 = 3b + \frac{1}{a} = \frac{3ab + 1}{a} olur.
Payda için: log⁡515=log⁡5(5⋅3)=log⁡55+log⁡53=1+1a=a+1a\log_5 15 = \log_5 (5 \cdot 3) = \log_5 5 + \log_5 3 = 1 + \frac{1}{a} = \frac{a + 1}{a} olur.
Logaritmanın çarpım özelliği (log⁡(xy)=log⁡x+log⁡y\log (xy) = \log x + \log y) ve üs özelliği (log⁡xn=nlog⁡x\log x^n = n \log x) uygulanır.
5
Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade biçime getirmek.
log⁡1524=3ab+1aa+1a=3ab+1a⋅aa+1=3ab+1a+1\log_{15} 24 = \frac{\frac{3ab + 1}{a}}{\frac{a + 1}{a}} = \frac{3ab + 1}{a} \cdot \frac{a}{a + 1} = \frac{3ab + 1}{a + 1} bulunur.
Bölme işlemi tamamlanarak ifade aa ve bb cinsinden en sade haline getirilir.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunda Taban Değiştirme ve Çarpım Özelliği
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic