Examkin

Question

Difficulty: Very hardYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x−3)(x−a)2(x−b)f'(x) = (x-3)(x-a)^2(x-b)
olarak veriliyor.

ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı NN olduğuna göre,

I. a=3a = 3 ve b≠3b \neq 3 ise N=2N = 2 dir.
II. N=0N = 0 ise b=3b = 3 tür.
III. N=2N = 2 ise a≠ba \neq b dir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IIAnswer
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Answer

I ve II
Verilen türev fonksiyonunda birinci ve ikinci öncüller matematiksel olarak kesinlikle doğrudur. Birinci öncüldeki durumda türevin kökleri tek kuvvetli olduğundan işaret değiştirir. İkinci öncülde ise ekstremum bulunmama durumu sadece tüm köklerin çift katlı olmasıyla mümkündür, bu da ancak ikinci parametrenin üçe eşit olmasıyla sağlanır.

Step-by-Step Solution

1
Türevin köklerini ve katlılık durumlarını analiz etmek.
Türevin kökleri 33, aa ve bb'dir. Çift katlı köklerde türevin işareti değişmezken, tek katlı (veya tek kuvvetli) köklerde türevin işareti değişir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevinin işaret değiştirdiği noktalardır.
2
Birinci öncülü değerlendirmek.
a=3a = 3 ve b≠3b \neq 3 durumunda f′(x)=(x−3)3(x−b)f'(x) = (x-3)^3(x-b) elde edilir. Kökler 33 (üç katlı) ve bb (tek katlı) olup her ikisi de tek katlı kök gibi davranarak türevin işaretini değiştirir. Bu durumda iki ekstremum noktası vardır (N=2N = 2).
Tek kuvvetli kökler işaret değişimine neden olur.
3
İkinci öncülü değerlendirmek.
b≠3b \neq 3 olduğunda aa'nın değeri ne olursa olsun (a=3a = 3, a=ba = b veya hepsi farklı) türevin en az bir tek katlı kökü bulunur ve işaret değişimi gerçekleşir. Dolayısıyla N=0N = 0 olması ancak b=3b = 3 iken türevin f′(x)=(x−3)2(x−a)2≥0f'(x) = (x-3)^2(x-a)^2 \geq 0 biçiminde olmasıyla mümkündür.
Hiç ekstremum noktasının olmaması için türev fonksiyonunun işaret değiştirmemesi gerekir.
4
Üçüncü öncülü değerlendirmek.
a=b≠3a = b \neq 3 seçildiğinde (örneğin a=b=1a = b = 1), türev f′(x)=(x−3)(x−1)3f'(x) = (x-3)(x-1)^3 olur. Burada 33 (tek katlı) ve 11 (üç katlı) noktalarında işaret değişimi olur ve N=2N = 2 sağlanır, ancak a=ba = b'dir.
Aksi bir örnek göstererek öncülün her zaman doğru olmadığını kanıtlamak.

Key Concept

Türevin işaret değiştirdiği noktaların yerel ekstremum noktaları olması ve çift katlı köklerde ekstremum noktası oluşmaması.
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic