Examkin

Question

Difficulty: MediumParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5

fonksiyonunun [a,b][a, b] kapalı aralığındaki en küçük değeri −4-4, en büyük değeri ise 1212'dir.

Buna göre, a+ba + b toplamının alabileceği en büyük değer ka��tır?

Answer: 10

Answer

a + b toplamının alabileceği en büyük değer 10'dur.
Parabolün kolları yukarı doğru olduğundan en küçük değer tepe noktası olan r=3r=3 apsisli noktada alınır ve bu değer f(3)=−4f(3)=-4'tür. Dolayısıyla a≤3≤ba \leq 3 \leq b olmalıdır. En büyük değer 1212 olduğuna göre uç noktalardan en az biri f(x)=12f(x)=12 denkleminin kökleri olan −1-1 veya 77 değerlerinden birine eşit olmalıdır. a+ba+b toplamını en büyük yapmak için b=7b=7 ve a=3a=3 seçilmelidir, bu durumda en büyük toplam 1010 olur.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün tepe noktasını bulmak ve en küçük değer koşuluyla aralık sınırlarını belirlemek.
a≤3≤ba \leq 3 \leq b
Parabolün kolları yukarı doğrudur ve en küçük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi r=3r = 3 ve bu noktadaki değeri f(3)=−4f(3) = -4 oldu��undan tepe noktası [a,b][a, b] aralığına dahil olmalıdır.
2
Fonksiyonun en büyük değeri olan 1212'ye ulaştığı xx değerlerini bulmak.
x=−1x = -1 veya x=7x = 7
Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük değeri uç noktalardan birinde gerçekleşir. f(x)=12f(x) = 12 denklemi çözülerek bu noktalar belirlenir.
3
a≤3≤ba \leq 3 \leq b ve max⁡(f(a),f(b))=12\max(f(a), f(b)) = 12 koşulları altında a+ba + b toplamını en büyük yapmak.
a=3a = 3 ve b=7b = 7 seçilerek en büyük toplam 1010 bulunur.
bb değerini en fazla 77 seçebiliriz (çünkü b>7b > 7 olursa en büyük değer 1212'yi aşar). Bu durumda aa değeri tepe noktasını aralıkta tutmak için en fazla 33 olabilir. Dolayısıyla en büyük toplam 3+7=103 + 7 = 10'dur.

Key Concept

Parabolün belirli bir kapalı aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri tepe noktasında veya aralığın uç noktalarında gerçekleşir.

Alternative Method

Bu soru türev yardımıyla da çözülebilir. Fonksiyonun yerel minimum noktası f′(x)=2x−6=0f'(x) = 2x - 6 = 0 eşitliğinden x=3x = 3 olarak bulunur. Bu noktadaki minimum değer f(3)=−4f(3) = -4'tür. Aralık sınırları için fonksiyonun türevi işaret değiştirmediğinden, en büyük değer sınır noktalarında aranır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

More questions from this topic