Examkin

Question

Difficulty: Very hardMaksimum ve Minimum Problemleri

Analitik düzlemde, y=x2y = x^2 parabolü üzerinde bulunan ve A(8,52)A\left(8, \frac{5}{2}\right) noktasına en yakın olan noktanın koordinatları toplamı kaçtır?

Answer: 6

Answer

Parabol üzerinde verilen noktaya en yakın olan noktanın koordinatları toplamı 6'dır.
Parabol üzerindeki genel bir P(x,x2)P(x, x^2) noktasının A(8,5/2)A(8, 5/2) noktasına olan uzaklığının karesi f(x)=(x−8)2+(x2−5/2)2f(x) = (x-8)^2 + (x^2-5/2)^2 fonksiyonudur. Bu fonksiyonun türevi olan f′(x)=4x3−8x−16f'(x) = 4x^3 - 8x - 16 ifadesini sıfır yapan tek gerçel sayı x=2x=2 değeridir. Bu apsis değeri parabol denkleminde yerine yazıldığında en yakın nokta P(2,4)P(2, 4) olarak elde edilir. Koordinatları toplamı ise 2+4=62+4=6 olur.

Step-by-Step Solution

1
Parabol üzerindeki genel bir noktayı temsil eden koordinatları belirleyin.
P(x,x2)P(x, x^2) noktası parabol üzerindeki herhangi bir noktayı temsil eder.
y=x2y = x^2 parabolü üzerindeki tüm noktaların ordinatı, apsisinin karesine eşittir.
2
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak P(x,x2)P(x, x^2) ile A(8,52)A\left(8, \frac{5}{2}\right) noktaları arasındaki uzaklığın karesini veren fonksiyonu yazın.
f(x)=(x−8)2+(x2−52)2f(x) = (x - 8)^2 + \left(x^2 - \frac{5}{2}\right)^2 fonksiyonu elde edilir. Bu ifade açılıp düzenlendiğinde f(x)=x4−4x2−16x+2814f(x) = x^4 - 4x^2 - 16x + \frac{281}{4} halini alır.
Uzaklığı minimum yapan xx değeri ile uzaklığın karesini minimum yapan xx değeri aynıdır. Kareköklü ifadeyle uğraşmamak için uzaklığın karesi fonksiyon olarak seçilmiştir.
3
Elde edilen fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirlemek üzere sıfıra eşitleyin.
f′(x)=4x3−8x−16=0f'(x) = 4x^3 - 8x - 16 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem ortak çarpan parantezine alınarak 4(x3−2x−4)=04(x^3 - 2x - 4) = 0 şeklinde yazılabilir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşittir.
4
x3−2x−4=0x^3 - 2x - 4 = 0 denkleminin gerçel köklerini bulun.
x=2x = 2 değeri denklemi sağlar (23−2(2)−4=8−4−4=02^3 - 2(2) - 4 = 8 - 4 - 4 = 0). Polinom b��lmesi yapıldığında denklem (x−2)(x2+2x+2)=0(x - 2)(x^2 + 2x + 2) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. x2+2x+2=0x^2 + 2x + 2 = 0 çarpanının diskriminantı Δ=22−4(1)(2)=−4<0\Delta = 2^2 - 4(1)(2) = -4 < 0 olduğundan buradan gerçel kök gelmez. Dolayısıyla tek kritik nokta x=2x = 2'dir.
Türev fonksiyonunun sıfıra eşit olduğu noktalar incelenerek en yakın noktanın apsisi belirlenir.
5
Bulunan apsis değerini parabol denkleminde yerine yazıp koordinatları ve koordinatların toplamını bulun.
x=2x = 2 için parabol üzerindeki en yakın nokta P(2,22)=P(2,4)P(2, 2^2) = P(2, 4) olur. Bu noktanın koordinatları toplamı 2+4=62 + 4 = 6 olarak bulunur.
Soru kökünde en yakın noktanın koordinatlarının toplamı sorulmaktad��r.

Key Concept

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklığın optimizasyonu.

Alternative Method

Geometrik olarak, parabol üzerindeki en yakın P(x,x2)P(x, x^2) noktasından parabole çizilen teğet doğrusu, PAPA doğru parçasına dik olmak zorundadır. P(x,x2)P(x, x^2) noktasındaki teğetin eğimi türev yardımıyla mt=2xm_t = 2x bulunur. Bu noktadaki normalin eğimi ise mn=−12xm_n = -\frac{1}{2x} olur. PP ve A(8,2.5)A(8, 2.5) noktalarından geçen doğrunun eğimi ise x2−2.5x−8\frac{x^2 - 2.5}{x - 8}'dir. İki doğrunun diklik şartından: x2−2.5x−8=−12x⇒2x3−5x=−x+8⇒2x3−4x−8=0⇒x3−2x−4=0\frac{x^2 - 2.5}{x - 8} = -\frac{1}{2x} \Rightarrow 2x^3 - 5x = -x + 8 \Rightarrow 2x^3 - 4x - 8 = 0 \Rightarrow x^3 - 2x - 4 = 0 denklemi elde edilir. Buradan tek gerçel kök x=2x=2 olarak bulunur. Dolayısıyla aranan nokta P(2,4)P(2, 4) olup koordinatları toplamı 6'dır.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Maksimum ve Minimum Problemleri

More questions from this topic