Dik koordinat düzleminde, f(x) = x^2 - 2x + k parabolü koordinat eksenlerini A, B ve C nok… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^2 - 2x + k

parabolü koordinat eksenlerini

A

B

C

noktalarında kesmektedir.

Köşeleri bu noktalar olan $ABC$ üçgeninin alanı $4\sqrt{5}$ birimkare olduğuna göre, $k$ gerçek sayısı kaçtır?

-4

Parabolün eksenleri kestiği noktalar

A(1-\sqrt{5}, 0)

B(1+\sqrt{5}, 0)

C(0, -4)

olup, bu noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı

\frac{2\sqrt{5} \cdot 4}{2} = 4\sqrt{5}

birimkaredir. Bu durumu sağlayan tek gerçek sayı değeri -4 değeridir.

Parabolün y-eksenini kestiği noktanın koordinatlarını bulma

C(0, k)

noktası elde edilir. Bu noktanın x-eksenine olan uzaklığı yani üçgenin yüksekliği

|k|

birimdir.

Parabolün y-eksenini kestiği noktada x değeri sıfırdır.

Parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığı

k

cinsinden hesaplama

|AB| = 2\sqrt{1-k}

birim elde edilir.

x^2 - 2x + k = 0

denkleminin kökleri arasındaki uzaklık formülü

|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}

bağıntısı ile hesaplanır. Burada

\Delta = (-2)^2 - 4(1)(k) = 4 - 4k

a = 1

olduğundan uzaklık

\sqrt{4-4k} = 2\sqrt{1-k}

olur.

Alan formülünü kurma ve

k

değerini çözme

k = -4

bulunur.

Alan formülü

\text{Alan}(ABC) = \frac{|AB| \cdot |y_C|}{2}

şeklindedir. Değerleri yerine koyarsak:

\frac{2\sqrt{1-k} \cdot |k|}{2} = 4\sqrt{5} \implies |k|\sqrt{1-k} = 4\sqrt{5}

olur. Parabolün x-eksenini iki farklı noktada kesebilmesi için

\Delta = 4-4k > 0 \implies k < 1

olmalıdır. Seçenekler ve alanın büyüklüğü göz önüne alındığında

k < 0

olmalıdır, bu durumda

|k| = -k

yazılır.

-k\sqrt{1-k} = 4\sqrt{5}

denkleminin her iki tarafının karesi alınarak

k^2(1-k) = 80 \implies k^3 - k^2 + 80 = 0

elde edilir. Bu denklemin negatif tam sayı kökü

k = -4

olarak bulunur.

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve bu noktaların geometrik yorumu

Question