Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=1−cos⁡x1+cos⁡x−1+cos⁡x1−cos⁡xa = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} - \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}
b=sin⁡x1−cos⁡x−1−cos⁡xsin⁡xb = \frac{\sin x}{1 - \cos x} - \frac{1 - \cos x}{\sin x}
c=cos⁡x1−sin⁡x−1−sin⁡xcos⁡xc = \frac{\cos x}{1 - \sin x} - \frac{1 - \sin x}{\cos x}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1cc
  2. 2bb
  3. 3aa

Answer

Doğru sıralama c < b < a şeklindedir.
Verilen aralıkta trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilen ifadelerin işaretleri ve değer aralıkları belirlendiğinde c < b < a sıralaması elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
a ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştiriniz.
a=−2cot⁡xa = -2\cot x
Kök içindeki ifadeler eşlenikleriyle çarpılarak kareleri elde edilir. İkinci bölgede sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, mutlak değer dışına çıkarma kuralları uygulanarak sadeleştirme tamamlanır.
2
b ifadesini payda eşitleyerek sadeleştiriniz.
b=2cot⁡xb = 2\cot x
Paydalar eşitlenip ortak çarpan parantezine alındığında pay kısmında 2cos⁡x(1−cos⁡x)2\cos x(1 - \cos x) ve paydada sin⁡x(1−cos⁡x)\sin x(1 - \cos x) ifadeleri elde edilir. Sadeleştirme sonucu ifade 2cos⁡xsin⁡x\frac{2\cos x}{\sin x} olur.
3
c ifadesini payda eşitleyerek sadeleştiriniz.
c=2tan⁡xc = 2\tan x
Paydalar eşitlenip cos⁡2x−1=−sin⁡2x\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x özdeşliği kullanıldığında pay kısmında 2sin⁡x(1−sin⁡x)2\sin x(1 - \sin x) ve paydada cos⁡x(1−sin⁡x)\cos x(1 - \sin x) ifadeleri elde edilir. Sadeleştirme sonucu ifade 2sin⁡xcos⁡x\frac{2\sin x}{\cos x} olur.
4
Tanımlı xx açısının bulunduğu aralığa göre değerlerin işaret ve büyüklüklerini karşılaştırınız.
c<b<ac < b < a
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında tan⁡x<−1\tan x < -1 ve −1<cot⁡x<0-1 < \cot x < 0 dır. Buna göre c=2tan⁡x<−2c = 2\tan x < -2, b=2cot⁡x∈(−2,0)b = 2\cot x \in (-2, 0) ve a=−2cot⁡x∈(0,2)a = -2\cot x \in (0, 2) elde edilerek sıralama bulunur.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama
Rate this question

Topics

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

More questions from this topic