Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir f fonksiyonu yalnızca (-\infty, -8] aral… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir $f$ fonksiyonu yalnızca $(-\infty, -8]$ aralığında azalandır.

Buna g��re,

g(x) = f(x^2 - 6x)

fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıkların birleşimi aşağıdakilerden hangisidir?

Fonksiyonun artan olduğu en geniş aralıkların birleşimi

[2, 3] \cup [4, \infty)

kümesidir.

Artan olduğu en geniş aralıkların birleşimi

[2, 3] \cup [4, \infty)

kümesidir. Fonksiyonun türevi olan

g'(x) = 2(x - 3) f'(x^2 - 6x)

ifadesinin işaret tablosu yapıldığında;

x - 3

f'(x^2 - 6x)

çarpanlarının işaretlerinin çarpımı

(2, 3)

(4, \infty)

aralıklarında pozitif (

+

) olmaktadır. Dolayısıyla bu aralıklar fonksiyonun artan olduğu bölgelerdir.

Verilen fonksiyonun türevi alınır.

g'(x) = (2x - 6) \cdot f'(x^2 - 6x) = 2(x - 3) \cdot f'(x^2 - 6x)

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretini incelemek gerekir.

Türevin sıfır olduğu kritik noktalar belirlenir.

x - 3 = 0 \implies x = 3

f'(x^2 - 6x) = 0 \implies x^2 - 6x = -8 \implies (x - 2)(x - 4) = 0 \implies x = 2

veya

x = 4

kritik noktalardır.

f

fonksiyonu yalnızca

(-\infty, -8]

aralığında azalan olduğundan,

f'(u) = 0

eşitliğini sağlayan sınır değer

u = -8

olur.

Kritik noktalara göre işaret tablosu oluşturulur ve

g'(x) \ge 0

olan bölgeler belirlenir.

x < 2

için

g'(x) < 0

2 < x < 3

için

g'(x) > 0

3 < x < 4

için

g'(x) < 0

x > 4

için

g'(x) > 0

bulunur. Buradan artan olan aralıklar

[2, 3]

[4, \infty)

olarak elde edilir.

Çarpanların her aralıktaki işareti belirlenerek çarpılır.

x > 4

için

x-3 > 0

x^2-6x > -8 \implies f'(x^2-6x) > 0

olduğundan çarpım pozitif olur. Diğer aralıklar da benzer şekilde test edilir.

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artan ve azalan aralıkların belirlenmesi

Question