Examkin

Question

Difficulty: MediumAritmetik Dizi ve Özellikleri
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,
a3+a7=16a_3 + a_7 = 16
a2+a10=22a_2 + a_{10} = 22
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi ile 15. teriminin toplam�� olan a1+a15a_1 + a_{15} değeri kaçtır?

  1. A
    17
  2. B
    31
  3. 34Answer
  4. D
    38
  5. E
    68

Answer

Dizinin ilk terimi ile 15. teriminin toplamı olan 34 değeri
Dizinin terimleri arasındaki indis özelliklerinden a3+a7=2a5=16  ⟹  a5=8a_3 + a_7 = 2a_5 = 16 \implies a_5 = 8 ve a2+a10=2a6=22  ⟹  a6=11a_2 + a_{10} = 2a_6 = 22 \implies a_6 = 11 elde edilir. Buradan ortak fark r=a6−a5=3r = a_6 - a_5 = 3 bulunur. İlk terim a1=a5−4r=−4a_1 = a_5 - 4r = -4 ve 15. terim a15=a1+14r=38a_{15} = a_1 + 14r = 38 olup, bu iki terimin toplamı 34 değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin terimleri arasındaki indis ilişkilerini kullanarak a5a_5 ve a6a_6 terimlerini bulun.
a3+a7=2a5=16  ⟹  a5=8a_3 + a_7 = 2a_5 = 16 \implies a_5 = 8 ve a2+a10=2a6=22  ⟹  a6=11a_2 + a_{10} = 2a_6 = 22 \implies a_6 = 11
Bir aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (ap+aq=2a(p+q)/2a_p + a_q = 2a_{(p+q)/2}).
2
Ardışık iki terim arasındaki farkı hesaplayarak dizinin ortak farkını (rr) bulun.
r=a6−a5=11−8=3r = a_6 - a_5 = 11 - 8 = 3
Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki fark sabittir ve ortak farkı verir.
3
Dizinin ilk terimini (a1a_1) ve 15. terimini (a15a_{15}) hesaplayıp toplayın.
a1=a5−4r=8−12=−4a_1 = a_5 - 4r = 8 - 12 = -4 ve a15=a6+9r=11+27=38a_{15} = a_6 + 9r = 11 + 27 = 38. Buradan a1+a15=−4+38=34a_1 + a_{15} = -4 + 38 = 34 elde edilir.
Genel terim formülü an=ak+(n−k)ra_n = a_k + (n-k)r kullanılarak dizinin istenen terimleri bulunur ve toplanır.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, ortak fark ve genel terim bağıntısı.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic