Bir fincan sıcak içeceğin sıcaklığı, bulunduğu ortamın sıcaklığına bağlı olarak zamanla az… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir fincan sıcak içeceğin sıcaklığı, bulunduğu ortamın sıcaklığına bağlı olarak zamanla azalmaktadır. $t$ geçen süreyi (dakika cinsinden) göstermek üzere, içeceğin $t$ . dakikadaki sıcaklığı $T(t)$ ( $^\circ\text{C}$ ) fonksiyonu:

T(t) = T_e + (T_0 - T_e) \cdot 2^{-c \cdot t}

formülüyle modellenmektedir. Burada $T_e$ ortam sıcaklığı, $T_0$ içeceğin başlangıç sıcaklığı ve $c$ pozitif bir soğuma sabittir.

Ortam sıcaklığının $20^\circ\text{C}$ olduğu bir odada, başlangıç sıcaklığı $84^\circ\text{C}$ olan bir fincan çayın sıcaklığ�� $10$ dakika sonra $52^\circ\text{C}$ 'ye düşmektedir.

Buna göre, bu çayın sıcaklığının $28^\circ\text{C}$ 'ye düşmesi için başlangıçtan itibaren kaç dakika geçmesi gerekir?

Answer: 30 dakika

Answer

Çayın sıcaklığının 28°C'ye düşmesi için başlangıçtan itibaren 30 dakika geçmesi gerekir.

Verilen başlangıç ve 10. dakika sıcaklık değerleri formülde yerine koyulduğunda soğuma sabiti

c = 0,1

olarak bulunur. Çayın sıcaklığının

28^\circ\text{C}

olması istenen denklemde bu katsayı kullanıldığında, geçen süre

30

dakika olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

Ortam sıcaklığı

T_e = 20^\circ\text{C}

, başlangıç sıcaklığı

T_0 = 84^\circ\text{C}

10

. dakikadaki s��caklık

T(10) = 52^\circ\text{C}

değerlerini formülde yerine yazmak.

52 = 20 + (84 - 20) \cdot 2^{-c \cdot 10} \implies 32 = 64 \cdot 2^{-10c}

Soğuma sabiti

c

'yi bulmak için gerekli ilk denklemi kurmak.

32 = 64 \cdot 2^{-10c}

denklemini çözerek

c

katsayısını belirlemek.

2^{-10c} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2} = 2^{-1} \implies -10c = -1 \implies c = 0,1

Üstel denklemi çözerek soğuma sabitini elde etmek.

Hedef sıcaklık

T(t) = 28^\circ\text{C}

değerini formülde yerine koyarak

t

süresini çözmek.

28 = 20 + (84 - 20) \cdot 2^{-0,1 \cdot t} \implies 8 = 64 \cdot 2^{-0,1 \cdot t} \implies 2^{-0,1 \cdot t} = \frac{8}{64} = \frac{1}{8} = 2^{-3} \implies -0,1 \cdot t = -3 \implies t = 30

Bulunan

c

sabiti ile hedeflenen sıcaklığa ulaşma süresini hesaplamak.

Key Concept

Üstel ve logaritmik modelleme yardımıyla gerçek hayat problemlerinin (Newton'ın Soğuma Kanunu) çözülmesi.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics