Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
11'den farklı xx ve yy pozitif gerçel sayıları için,
log⁡x(x2y)⋅log⁡y(xy2)=10\log_x(x^2 y) \cdot \log_y(xy^2) = 10
eşitliği verilmektedir.
Buna göre, log⁡xy\log_x y ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    −4-4
  2. B
    11
  3. 52\frac{5}{2}Answer
  4. D
    55
  5. E
    77

Answer

52\frac{5}{2}
Verilen denklem logaritmik özellikler yardımıyla düzenlendiğinde (2+log⁡xy)(2+log⁡yx)=10(2 + \log_x y)(2 + \log_y x) = 10 halini alır. Burada log⁡yx=1log⁡xy\log_y x = \frac{1}{\log_x y} yazılarak log⁡xy=t\log_x y = t dönüşümü yapıldığında 2t2−5t+2=02t^2 - 5t + 2 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemin diskriminantı sıfırdan büyük olduğundan iki farklı reel kökü vardır. İkinci dereceden denklemin kökler toplamı formülü (−ba-\frac{b}{a}) kullanılarak log⁡xy\log_x y ifadesinin alabileceği değerler toplamı 52\frac{5}{2} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma çarpım özelliğini kullanarak log⁡x(x2y)\log_x(x^2 y) ve log⁡y(xy2)\log_y(xy^2) ifadelerini açalım.
log⁡x(x2y)=log⁡x(x2)+log⁡xy=2+log⁡xy\log_x(x^2 y) = \log_x(x^2) + \log_x y = 2 + \log_x y ve log⁡y(xy2)=log⁡yx+log⁡y(y2)=log⁡yx+2\log_y(xy^2) = \log_y x + \log_y(y^2) = \log_y x + 2 elde edilir.
Çarpım durumundaki logaritma argümanları toplam olarak yazılabilir: log⁡a(b⋅c)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c.
2
Taban değiştirme kuralı yardımıyla log⁡yx\log_y x ifadesini log⁡xy\log_x y cinsinden ifade edelim.
log⁡yx=1log⁡xy\log_y x = \frac{1}{\log_x y} olur.
Taban ve argüman yer değiştirdiğinde logaritma değeri çarpmaya göre tersine döner: log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a}.
3
log⁡xy=t\log_x y = t dönüşümü yaparak denklemi tek bir değişken cinsinden yazalım.
(2+t)⋅(2+1t)=10(2 + t) \cdot \left(2 + \frac{1}{t}\right) = 10 denklemi elde edilir.
İfadeyi basitleştirip çözülebilir bir cebirsel denklem formuna getirmek için değişken değiştirme uygulanır.
4
Denklemdeki çarpım işlemini dağıtarak düzenleyelim.
4+2t+2t+1=10  ⟹  2t+2t+5=10  ⟹  2t+2t=54 + \frac{2}{t} + 2t + 1 = 10 \implies 2t + \frac{2}{t} + 5 = 10 \implies 2t + \frac{2}{t} = 5 elde edilir.
Parantezleri açarak terimleri gruplandırmak ve sadeleştirmek için cebirsel dağılma özelliği kullanılır.
5
Denklemin her iki tarafını tt ile çarparak ikinci dereceden bir denklem elde edelim.
2t2−5t+2=02t^2 - 5t + 2 = 0 denklemi elde edilir.
Rasyonel terimi yok etmek ve standart ikinci dereceden denklem formuna (at2+bt+c=0at^2 + bt + c = 0) ulaşmak için payda eşitlenir.
6
Elde edilen denklemin diskriminantını kontrol ederek reel köklerin varlığını doğrulayalım ve kökler toplamını bulalım.
Δ=(−5)2−4⋅2⋅2=25−16=9>0\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 > 0 olduğundan iki farklı reel kök vardır. Kökler toplamı −ba=−−52=52-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2} olarak hesaplanır.
İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı formülü −ba-\frac{b}{a}'dır.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun çarpım ve taban değiştirme özelliklerini kullanarak verilen denklemleri ikinci dereceden denklemlere dönüştürme ve çözme.
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic