Examkin

Question

Difficulty: MediumAritmetik Dizi ve Özellikleri
Terimleri pozitif tam sayılardan oluşan ve ortak farkı 1'den büyük olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,
a1+a2+a3=15a_1 + a_2 + a_3 = 15
aa1=7a_{a_1} = 7
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi (a10a_{10}) kaçtır?

  1. A
    13
  2. 21Answer
  3. C
    53
  4. D
    85
  5. E
    120

Answer

21
Dizinin ilk üç teriminin toplamından ortanca terim olan a2=5a_2 = 5 elde edilir. Ortak fark rr alındığında ilk terim a1=5−ra_1 = 5-r olur. İndis bağıntısı aa1=7a_{a_1} = 7 yerine yazıldığında (5−r)+(4−r)r=7(5-r) + (4-r)r = 7 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde r=1r=1 veya r=2r=2 bulunur. Ortak farkı 1'den büyük olduğu koşulundan dolayı r=2r=2 seçilir. İlk terim a1=3a_1 = 3 olur. Buradan dizinin 10. terimi a10=a1+9r=3+18=21a_{10} = a_1 + 9r = 3 + 18 = 21 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizilerde ardışık terimlerin toplamı özelliğini kullanarak ikinci terimi belirleme.
a1+a2+a3=3a2=15  ⟹  a2=5a_1 + a_2 + a_3 = 3a_2 = 15 \implies a_2 = 5 olarak bulunur.
Bir aritmetik dizide terimlerin indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir (a1+a3=2a2a_1 + a_3 = 2a_2).
2
Dizinin ortak farkını rr kabul edip ilk terimi rr cinsinden yazma ve indis bağıntısını kullanarak denklem kurma.
a1=a2−r=5−ra_1 = a_2 - r = 5 - r olur. Genel terim formülü olan an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r ifadesinde n=a1n = a_1 yazılarak aa1=a1+(a1−1)r=7  ⟹  (5−r)+(5−r−1)r=7a_{a_1} = a_1 + (a_1 - 1)r = 7 \implies (5-r) + (5-r-1)r = 7 denklemi elde edilir.
Verilen aa1=7a_{a_1} = 7 eşitliğinde terimlerin değerlerini tek bir değişkene bağlı olarak ifade etmek.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklemi düzenleyip çözerek ortak farkı ve ilk terimi belirleme.
5−r+(4−r)r=7  ⟹  −r2+3r+5=7  ⟹  r2−3r+2=0  ⟹  (r−1)(r−2)=05 - r + (4-r)r = 7 \implies -r^2 + 3r + 5 = 7 \implies r^2 - 3r + 2 = 0 \implies (r-1)(r-2) = 0 olur. Buradan r=1r = 1 veya r=2r = 2 bulunur. Soruda ortak farkın 1'den büyük olduğu belirtildiği için r=2r = 2 alınır. İlk terim ise a1=5−2=3a_1 = 5 - 2 = 3 olarak bulunur.
Soru kökündeki kısıtlamaları uygulayarak dizinin parametrelerini netleştirmek.
4
Dizinin 10. terimini hesaplama.
a10=a1+9r=3+9(2)=21a_{10} = a_1 + 9r = 3 + 9(2) = 21 olarak hesaplanır.
Genel terim formülü kullanılarak hedef terime ulaşmak.

Key Concept

Aritmetik dizide ardışık terimlerin ilişkisi, genel terim formülü ve indis özellikleri
Rate this question

Topics

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic