Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Analitik düzlemde, yarıçapı 11 birim olan başlangıç noktası merkezli çember üzerindeki bir P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından çembere teğet olan doğru çiziliyor. Bu teğet doğrusu xx-eksenini AA, yy-eksenini ise BB noktasında kesmektedir.

π<θ<3π2\pi < \theta < \frac{3\pi}{2} olduğuna göre, AA ve BB noktaları arasındaki uzaklığın θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. tan⁡θ+cot⁡θ\tan\theta + \cot\thetaAnswer
  2. B
    tan⁡θ−cot⁡θ\tan\theta - \cot\theta
  3. C
    cot⁡θ−tan⁡θ\cot\theta - \tan\theta
  4. D
    −(tan⁡θ+cot⁡θ)-(\tan\theta + \cot\theta)
  5. E
    sec⁡θ+csc⁡θ\sec\theta + \csc\theta

Answer

A noktası ile B noktası arasındaki uzaklık tanjant ile kotanjant değerlerinin toplamına eşittir.
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktalar A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) ve B(0,csc⁡θ)B(0, \csc\theta) olarak belirlenir. Eksenlerin dik kesişmesi sebebiyle oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulandığında ∣AB∣=sec⁡2θ+csc⁡2θ|AB| = \sqrt{\sec^2\theta + \csc^2\theta} elde edilir. Bu ifade (tan⁡θ+cot⁡θ)2=∣tan⁡θ+cot⁡θ∣\sqrt{(\tan\theta + \cot\theta)^2} = |\tan\theta + \cot\theta| şeklinde yazılabilir. θ\theta açısı üçüncü bölgede yer aldığından bu bölgede tanjant ve kotanjant pozitif değerler alır, dolayısıyla mutlak değer içi pozitif olup dışarıya aynen tanjant ile kotanjantın toplamı olarak çıkar.

Step-by-Step Solution

1
Teğet doğrusunun denkleminin yazılması
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1
Birim çembere üzerindeki bir P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi x0x+y0y=1x_0 x + y_0 y = 1 formülüyle bulunur.
2
Eksenleri kestiği noktaların bulunması
A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) ve B(0,csc⁡θ)B(0, \csc\theta)
Eksenleri kestiği noktaları bulmak amacıyla teğet doğrusunun denkleminde sırasıyla y=0y=0 ve x=0x=0 yazılır. Buradan x=1cos⁡θ=sec⁡θx = \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta ve y=1sin⁡θ=csc⁡θy = \frac{1}{\sin\theta} = \csc\theta elde edilir.
3
Noktalar arasındaki uzaklığın hesaplanması
∣AB∣=sec⁡2θ+csc⁡2θ=∣tan⁡θ+cot⁡θ∣|AB| = \sqrt{\sec^2\theta + \csc^2\theta} = |\tan\theta + \cot\theta|
Eksenler dik kesiştiğinden, dik üçgende Pisagor teoremi kullanılarak uzaklık ∣AB∣=sec⁡2θ+csc⁡2θ|AB| = \sqrt{\sec^2\theta + \csc^2\theta} şeklinde hesaplanır. sec⁡2θ=1+tan⁡2θ\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta ve \csc^2\theta = 1 + \cot^2\theta o¨zdes\clikleriyerineyazıldıg˘ındaifade özdeşlikleri yerine yazıldığında ifade \sqrt{\tan^2\theta + \cot^2\theta + 2} = \sqrt{(\tan\theta + \cot\theta)^2} = |\tan\theta + \cot\theta|$ halini alır.
4
Bölge analizi ile mutlak değerin açılması
∣AB∣=tan⁡θ+cot⁡θ|AB| = \tan\theta + \cot\theta
Açının bulunduğu üçüncü bölgede (π<θ<3π2\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}) hem tanjant hem de kotanjant fonksiyonları pozitif değerler alır. Bu nedenle toplamları da pozitif olup mutlak değer dışına aynen çıkar.

Key Concept

Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun denklemi ve bu doğrunun eksenleri kestiği noktalar yardımıyla trigonometrik özdeşliklerin bölgelere göre işaret analizi yapılarak çözülmesi.
Rate this question

Topics

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

More questions from this topic