Examkin

Question

Difficulty: HardYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
Gerçel say��lar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x−3)(x−8)(x+1)f'(x) = (x-3)(x-8)(x+1)
olarak verilmiştir.

Buna göre, g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 5Answer
  4. D
    6
  5. E
    7

Answer

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 5'tir.
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 5 olarak bulunmuştur. Zincir kuralı uygulandıktan sonra elde edilen türev fonksiyonunun tüm kökleri (x=1,3,−1,4,−2x = 1, 3, -1, 4, -2) tek katlı köklerdir. Dolayısıyla bu noktaların tamamında fonksiyonun türevi işaret değiştirir ve hepsi yerel ekstremum noktasıdır. Bu noktaların toplamı da 5'tir.

Step-by-Step Solution

1
g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak hesaplayın.
g′(x)=2(x−1)⋅f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1) \cdot f'(x^2 - 2x) elde edilir.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken içteki fonksiyonun türeviyle çarpılması gerekir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunun kuralını f′(x2−2x)f'(x^2 - 2x) ifadesinde yerine yazın ve çarpanlarına ayırın.
f′(x2−2x)=(x2−2x−3)(x2−2x−8)(x2−2x+1)=(x−3)(x+1)(x−4)(x+2)(x−1)2f'(x^2 - 2x) = (x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x - 8)(x^2 - 2x + 1) = (x-3)(x+1)(x-4)(x+2)(x-1)^2 elde edilir.
Türevin sıfır olduğu noktaları ve bu noktaların katlılık durumlarını belirlemek için çarpanlara ayırma yapılır.
3
g′(x)g'(x) fonksiyonunu tek bir çarpım şeklinde yazarak tüm kökleri ve katlılık derecelerini belirleyin.
g′(x)=2(x−1)3(x−3)(x+1)(x−4)(x+2)g'(x) = 2(x-1)^3 (x-3)(x+1)(x-4)(x+2) olup, kökler x=1x = 1 (3. dereceden tek katlı), x=3,−1,4,−2x = 3, -1, 4, -2 (1. dereceden tek katlı) olarak bulunur.
Bir noktanın yerel ekstremum noktası olması için türevin o noktada işaret değiştirmesi, yani kökün tek katlı olması gerekir.
4
Tek katlı köklerin apsislerini toplayın.
−2+(−1)+1+3+4=5-2 + (-1) + 1 + 3 + 4 = 5 bulunur.
Tüm kökler tek katlı olduğundan hepsi yerel ekstremum noktasıdır.

Key Concept

Bileşke fonksiyon türevi ve türevin işaret değiştirdiği tek katlı köklerde yerel ekstremum noktalarının bulunması.
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic