Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
a=cos⁡x−sin⁡xb=tan⁡x−cot⁡xc=sin⁡x+cos⁡x\begin{aligned} a &= \cos x - \sin x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \sin x + \cos x \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1a=cos⁡x−sin⁡xa = \cos x - \sin x
  2. 2c=sin⁡x+cos⁡xc = \sin x + \cos x
  3. 3b=tan⁡x−cot⁡xb = \tan x - \cot x

Answer

Küçükten büy��ğe doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
İkinci bölgenin (3π4,π)\left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) kısmında kosinüs negatif, sinüs ise pozitif değerler alır. Bu aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsten büyük olduğundan sinüs ile kosinüsün toplamı negatif olur. Kosinüs ile sinüsün farkı ise negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için daha da küçük bir negatif sayı verir. Tanjant ve kotanjant değerleri negatif olmakla birlikte, bu aralıkta kotanjant −1-1'den küçük, tanjant ise −1-1'den büyüktür. Dolayısıyla tanjant ile kotanjantın farkı pozitif bir değer üretir. Bu durum, kosinüs ile sinüsün farkını en küçük, tanjant ile kotanjantın farkını ise en büyük yapar. Sonuç olarak sıralama en küçükten en büyüğe doğru sırasıyla kosinüs ve sinüsün farkı, sinüs ve kosinüsün toplamı, tanjant ve kotanjantın farkı şeklinde gerçekleşir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen aralıktaki trigonometrik değerlerin işaretlerini ve sınırlarını belirlemek.
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığı ikinci bölgenin ikinci yarısını temsil eder. Bu aralıkta;
- sin⁡x>0\sin x > 0 ve sin⁡x<22\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}
- cos⁡x<0\cos x < 0 ve cos⁡x<−22\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}
- tan⁡x∈(−1,0)\tan x \in (-1, 0)
- cot⁡x<−1\cot x < -1 olur.
Birim çember üzerindeki ikinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir. Açı 3π4\frac{3\pi}{4} değerini aştığında kosinüsün mutlak değeri büyürken sinüsün mutlak de��eri küçülür.
2
aa, bb ve cc ifadelerinin işaretlerini ve büyüklüklerini analiz etmek.
- a=cos⁡x−sin⁡x→a = \cos x - \sin x \rightarrow (Negatif) - (Pozitif) = Negatif bir değer alır.
- b=tan⁡x−cot⁡x→b = \tan x - \cot x \rightarrow tan⁡x>−1\tan x > -1 ve −cot⁡x>1-\cot x > 1 olduğundan toplamları pozitif bir değer alır (b>0b > 0).
- c=sin⁡x+cos⁡x→c = \sin x + \cos x \rightarrow Bu aralıkta ∣cos⁡x∣>sin⁡x|\cos x| > \sin x olduğundan, toplamları negatif bir değer alır (c<0c < 0).
İfadelerin genel işaret yapıları sıralamanın ana hatlarını belirler. Pozitif olan bb ifadesi en büyük değere sahiptir.
3
Negatif olan aa ve cc değerlerini kıyaslayarak tam sıralamayı oluşturmak.
c−a=(sin⁡x+cos⁡x)−(cos⁡x−sin⁡x)=2sin⁡xc - a = (\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x) = 2\sin x elde edilir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan 2sin⁡x>02\sin x > 0 olur, yani c>ac > a bağıntısı bulunur.
İki negatif değer arasındaki farkın işareti incelenerek hangisinin daha büyük olduğu belirlenir. c>ac > a ve b>0b > 0 olduğundan, nihai sıralama a<c<ba < c < b olarak kesinleşir.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların ikinci bölgedeki işaretleri, değer aralıkları ve mutlak değerce büyüklük kıyaslamaları.
Rate this question

Topics

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

More questions from this topic