Examkin

Question

Difficulty: EasyRiemann Toplamı
f:[1,5]→Rf: [1, 5] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere, f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2 fonksiyonu veriliyor. [1,5][1, 5] kapalı aralığı eşit uzunlukta iki alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü elde ediliyor. Buna göre, ff fonksiyonunun PP bölüntüsüne göre Riemann alt toplamı kaçtır?
  1. A
    16
  2. B
    28
  3. 32Answer
  4. D
    44
  5. E
    56

Answer

Riemann alt toplamı 32 olarak bulunur.
Doğru cevap 32'dir. f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2 fonksiyonu [1,5][1, 5] aralığında sürekli artandır. İki eşit alt aralık [1,3][1, 3] ve [3,5][3, 5] olup genişlikleri 2'dir. Riemann alt toplamı için sol uç noktalar olan x=1x = 1 ve x=3x = 3 noktalarındaki değerler kullanılır: 2⋅f(1)+2⋅f(3)=2⋅5+2⋅11=322 \cdot f(1) + 2 \cdot f(3) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 11 = 32 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Aralık genişliğini hesaplama
Aralık genişliği Δx=2\Delta x = 2 olarak bulunur.
[1,5][1, 5] aralığı n=2n = 2 eşit alt aralığa bölündüğünden, her bir alt aralığın genişliği Δx=5−12=2\Delta x = \frac{5 - 1}{2} = 2 olur. Bu durumda alt aralıklar [1,3][1, 3] ve [3,5][3, 5] şeklindedir.
2
Alt aralıkların sol uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini bulma
f(1)=5f(1) = 5 ve f(3)=11f(3) = 11 değerleri elde edilir.
f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2 fonksiyonu [1,5][1, 5] aralığında sürekli artandır. Dolayısıyla her alt aralıktaki en küçük (minimum) değer, aralığın sol uç noktasında elde edilir. Bu noktalar x=1x = 1 ve x=3x = 3'tür.
3
Riemann alt toplamını hesaplama
Riemann alt toplamı 32 olarak bulunur.
Her alt aralık için belirlenen sol uç noktalardaki fonksiyon değerleri ile aralık genişliği çarpılıp toplanır: Alt Toplam=Δx⋅f(1)+Δx⋅f(3)=2⋅5+2⋅11=10+22=32\text{Alt Toplam} = \Delta x \cdot f(1) + \Delta x \cdot f(3) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 11 = 10 + 22 = 32.

Key Concept

Riemann alt toplamı, tanımlı aralıktaki fonksiyonun alt aralıklardaki en küçük değerlerinin aralık genişliğiyle çarpımlarının toplamıdır. Artan fonksiyonlar için bu en küçük değerler alt aralıkların sol uç noktalarında gerçekleşir.
Rate this question

Topics

Riemann Toplamı

More questions from this topic