Examkin

Question

Difficulty: Very hardGeometrik Dizi ve Özellikleri

Bir (an)(a_n) pozitif terimli geometrik dizisi için,

a5⋅a11⋅a17=512a_5 \cdot a_{11} \cdot a_{17} = 512
a3+a19=56a_3 + a_{19} = 56

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, a7+a15a_7 + a_{15} toplamının değeri kaçtır?

  1. 2424Answer
  2. B
    5656
  3. C
    878\sqrt{7}
  4. D
    1616
  5. E
    858\sqrt{5}

Answer

Dizinin istenen terimlerinin toplamı 24 olur.
Dizinin geometrik dizi olmasından ötürü a5⋅a17=a112a_5 \cdot a_{17} = a_{11}^2 yazılabilir. Bu sayede a11=8a_{11} = 8 bulunur. Daha sonra terimler a11a_{11} ve ortak çarpan rr cinsinden yazılıp oranlanarak r8+1r8=7r^8 + \frac{1}{r^8} = 7 elde edilir. İstenen a7+a15a_7 + a_{15} toplamı 8(r4+1r4)8(r^4 + \frac{1}{r^4}) ifadesine eşittir. Tam kare özdeşliği yardımıyla (r4+1r4)2=r8+1r8+2=9(r^4 + \frac{1}{r^4})^2 = r^8 + \frac{1}{r^8} + 2 = 9 olduğundan r4+1r4=3r^4 + \frac{1}{r^4} = 3 bulunur. Buradan istenen toplam 8⋅3=248 \cdot 3 = 24 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin a5⋅a11⋅a17=512a_5 \cdot a_{11} \cdot a_{17} = 512 eşitliğini geometrik dizi özelliklerini kullanarak düzenleyelim.
a11=8a_{11} = 8 olarak bulunur.
Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir. 5+17=2⋅115 + 17 = 2 \cdot 11 olduğundan a5⋅a17=a112a_5 \cdot a_{17} = a_{11}^2 olur. Buradan a5⋅a11⋅a17=a113=512a_5 \cdot a_{11} \cdot a_{17} = a_{11}^3 = 512 elde edilir. Her iki tarafın küp kökü alınırsa, terimler pozitif olduğundan a11=8a_{11} = 8 bulunur.
2
Verilen ikinci eşitlik olan a3+a19=56a_3 + a_{19} = 56 ifadesini ortak çarpan rr ve a11a_{11} cinsinden yazalım.
r8+1r8=7r^8 + \frac{1}{r^8} = 7 elde edilir.
Geometrik dizinin genel terim özelliğinden a3=a11⋅r−8a_3 = a_{11} \cdot r^{-8} ve a19=a11⋅r8a_{19} = a_{11} \cdot r^8 yazılabilir. Bu ifadeler denklemde yerine yazılırsa: 8⋅r−8+8⋅r8=56  ⟹  8(r−8+r8)=56  ⟹  r8+1r8=78 \cdot r^{-8} + 8 \cdot r^8 = 56 \implies 8(r^{-8} + r^8) = 56 \implies r^8 + \frac{1}{r^8} = 7 bulunur.
3
İstenen a7+a15a_7 + a_{15} toplamını ortak çarpan rr ve a11a_{11} cinsinden ifade edelim.
a7+a15=8(r4+1r4)a_7 + a_{15} = 8(r^4 + \frac{1}{r^4}) olur.
Genel terim özelliğinden a7=a11⋅r−4a_7 = a_{11} \cdot r^{-4} ve a15=a11⋅r4a_{15} = a_{11} \cdot r^4 yazılır. Buradan a7+a15=8⋅r−4+8⋅r4=8(r4+1r4)a_7 + a_{15} = 8 \cdot r^{-4} + 8 \cdot r^4 = 8(r^4 + \frac{1}{r^4}) elde edilir.
4
r4+1r4r^4 + \frac{1}{r^4} ifadesinin değerini bulmak için tam kare özdeşliğini kullanalım.
r4+1r4=3r^4 + \frac{1}{r^4} = 3 olarak bulunur.
x=r4+1r4x = r^4 + \frac{1}{r^4} olsun. Her iki tarafın karesi alınırsa: x2=(r4+1r4)2=r8+2⋅r4⋅1r4+1r8=r8+1r8+2x^2 = (r^4 + \frac{1}{r^4})^2 = r^8 + 2 \cdot r^4 \cdot \frac{1}{r^4} + \frac{1}{r^8} = r^8 + \frac{1}{r^8} + 2 olur. r8+1r8=7r^8 + \frac{1}{r^8} = 7 değeri yerine yazılırsa: x2=7+2=9x^2 = 7 + 2 = 9 elde edilir. Dizi terimleri pozitif gerçek sayılar olduğundan r>0r > 0 ve dolayısıyla x>0x > 0 olmalıdır. Buradan x=3x = 3 bulunur.
5
Bulduğumuz x=3x = 3 değerini a7+a15a_7 + a_{15} ifadesinde yerine yazarak sonucu bulalım.
a7+a15=24a_7 + a_{15} = 24 olarak bulunur.
a7+a15=8(r4+1r4)=8⋅3=24a_7 + a_{15} = 8(r^4 + \frac{1}{r^4}) = 8 \cdot 3 = 24 elde edilir.

Key Concept

Bir geometrik dizide terimlerin indisleri arasındaki simetri özellikleri ve terimlerin ortak çarpan cinsinden kuvvet ilişkileri.

Alternative Method

Geometrik dizide a3⋅a19=a7⋅a15=a112=64a_3 \cdot a_{19} = a_7 \cdot a_{15} = a_{11}^2 = 64 olduğu görülebilir. Buradan a7+a15a_7 + a_{15} toplamına SS dersek, a7a_7 ve a15a_{15} terimleri çarpımı 64 olan iki sayıdır. Diğer taraftan, a3+a19=56a_3 + a_{19} = 56 ve a3⋅a19=64a_3 \cdot a_{19} = 64 olduğundan bu terimlerin ortak çarpan kuvvetleri üzerinden S2=(a7+a15)2=a72+a152+2a7a15=a3a11+a11a19+2(64)=a11(a3+a19)+128=8(56)+128=448+128=576S^2 = (a_7+a_{15})^2 = a_7^2 + a_{15}^2 + 2a_7a_{15} = a_3 a_{11} + a_{11} a_{19} + 2(64) = a_{11}(a_3 + a_{19}) + 128 = 8(56) + 128 = 448 + 128 = 576 elde edilir. Terimler pozitif olduğundan S=576=24S = \sqrt{576} = 24 bulunur.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Geometrik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic