Examkin

Question

Difficulty: MediumLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)
Her xx gerçel sayısı için f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu,
lim⁡x→2f(x)x2−4=3\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x^2 - 4} = 3
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?

  1. -11Answer
  2. B
    -9
  3. C
    -5
  4. D
    9
  5. E
    11

Answer

−11-11
Limit değerinin gerçel sayı olması, payda sıfıra giderken payın da sıfıra gitmesini gerektirir. Bu durum, f(x)f(x) fonksiyonunun (x−2)(x-2) çarpanına sahip olduğunu gösterir. Çarpanlar sadeleştirilip limit hesaplandığında fonksiyon f(x)=(x−2)(x+10)f(x) = (x-2)(x+10) olarak belirlenir ve buradan f(1)=−11f(1) = -11 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Limit değerinin bir gerçel sayı olması için belirsizlik durumunun belirlenmesi
x→2x \to 2 iken payda sıfıra yaklaştığından (22−4=02^2 - 4 = 0), limitin bir gerçel sayı (3) çıkabilmesi için payın da sıfıra yaklaşması gerekir. Dolayısıyla, f(2)=0f(2) = 0 olmalıdır.
Payda sıfır iken pay sıfırdan farklı bir sayı olursa limit tanımsız ya da sonsuz olur. Limitin gerçel sayı olması ancak 0/00/0 belirsizliğinin bulunmasıyla mümkündür.
2
Fonksiyonun çarpanlarına ayrılmış biçimde yazılması ve limitin hesaplanması
f(2)=0f(2) = 0 olduğundan, f(x)f(x) fonksiyonunun çarpanlarından biri (x−2)(x-2)'dir. Başkatsayısı 11 olan ikinci dereceden bir fonksiyon olduğu için fonksiyonu f(x)=(x−2)(x−k)f(x) = (x-2)(x-k) şeklinde yazabiliriz. Bu durumda limit:
lim⁡x→2(x−2)(x−k)(x−2)(x+2)=lim⁡x→2x−kx+2=2−k4=3\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-k)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x-k}{x+2} = \frac{2-k}{4} = 3
Buradan 2−k=12  ⟹  k=−102-k = 12 \implies k = -10 bulunur.
Ortak çarpan olan (x−2)(x-2) sadeleştirilerek belirsizlik giderilir ve ardından xx yerine 22 yazılarak limit değeri elde edilir.
3
Fonksiyonun denkleminin yazılması ve f(1)f(1) değerinin hesaplanması
k=−10k = -10 değeri yerine yazıldığında fonksiyon f(x)=(x−2)(x+10)f(x) = (x-2)(x+10) olur. İstenen f(1)f(1) değeri:
f(1)=(1−2)(1+10)=(−1)⋅11=−11f(1) = (1-2)(1+10) = (-1) \cdot 11 = -11
olarak bulunur.
Fonksiyonun tam denklemi elde edildikten sonra istenen noktadaki değeri doğrudan değişken yerine yazılarak hesaplanır.

Key Concept

Limitlerde 0/0 belirsizliğinin çarpanlara ayırma yöntemiyle giderilmesi ve belirsizlik durumunda payda sıfıra giderken limitin var olması için payın da sıfıra gitmesi gerekliliği.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

More questions from this topic