Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember ve bu çembere A(1,0)A(1, 0) noktasında teğet olan x=1x = 1 doğrusu verilmiştir. Başlangıç kenarı pozitif xx-ekseni olan ve ölçüsü α\alpha radyan olan bir yönlü açının biti�� kenarının birim çemberi kestiği nokta PP, bitiş kenarını taşıyan doğrunun x=1x = 1 doğrusunu kestiği nokta ise TT noktasıdır.

α∈(π,3π2)\alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere, PP noktasının xx-eksenine olan uzaklığı ile TT noktasının orijine olan uzaklığının çarpımı 33\frac{\sqrt{3}}{3} birimdir.

Buna göre, sin⁡α\sin\alpha değeri kaçtır?

Answer: -0.5

Answer

İstenen sinüs değeri -0.5'tir.
Üçüncü bölgedeki açının sinüs değeri negatif olup, uzaklıklar çarpımından elde edilen tanjant değerinin 1/kök(3) olmasını sağlayan 210 derecelik açının sinüsü -0.5'tir.

Step-by-Step Solution

1
Birim çember üzerindeki P noktasının ve x=1x = 1 teğet doğrusu üzerindeki T noktasının koordinatlarını belirleme.
P(cos⁡α,sin⁡α)P(\cos\alpha, \sin\alpha) ve T(1,tan⁡α)T(1, \tan\alpha)
Uzaklıkları trigonometrik oranlar cinsinden yazabilmek için.
2
Noktaların eksenlere ve orijine olan uzaklıklarını mutlak değer dışına çıkarma.
d1=−sin⁡αd_1 = -\sin\alpha ve d2=−1cos⁡αd_2 = -\frac{1}{\cos\alpha}
Üçüncü bölgede sin⁡α<0\sin\alpha < 0 ve cos⁡α<0\cos\alpha < 0 olduğundan uzaklıkların pozitif değer alması sağlanır.
3
Uzaklıkların çarpımını eşitleyerek tan⁡α\tan\alpha değerini ve açıyı bulma.
tan⁡α=33  ⟹  α=210∘\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies \alpha = 210^\circ (veya 7π6\frac{7\pi}{6} radyan)
Verilen çarpım ilişkisinden tan⁡α\tan\alpha oranına ulaşmak için.
4
Belirlenen açının sinüs değerini hesaplama.
sin⁡(210∘)=−0.5\sin(210^\circ) = -0.5
Soruda istenen nihai trigonometrik değeri elde etmek için.

Key Concept

Birim çember üzerindeki koordinatlar ile trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri arasındaki ilişki
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

More questions from this topic