Examkin

Question

Difficulty: HardLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
1'den farklı pozitif xx gerçel sayısı için,
log⁡2(x)⋅log⁡x(4x)⋅log⁡4x(8x)=log⁡x(14)\log_2(x) \cdot \log_x(4x) \cdot \log_{4x}(8x) = \log_x\left(\frac{1}{4}\right)
eşitliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitli��i sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

  1. A
    34\frac{3}{4}
  2. 12\frac{1}{2}Answer
  3. C
    14\frac{1}{4}
  4. D
    18\frac{1}{8}
  5. E
    22

Answer

Denklemi sağlayan tek gerçel sayı yarım (1/2) değeridir.
Zincir kuralı kullanılarak sol taraf sadeleştirildiğinde log⁡2(8x)=3+log⁡2x\log_2(8x) = 3 + \log_2 x elde edilir. Sağ taraf ise −2log⁡2x\frac{-2}{\log_2 x} şeklinde yazılır. t=log⁡2xt = \log_2 x dönüşümü ile elde edilen t2+3t+2=0t^2 + 3t + 2 = 0 denkleminin kökleri t=−1t = -1 ve t=−2t = -2'dir. Buradan x=1/2x = 1/2 ve x=1/4x = 1/4 değerleri bulunur. Ancak x=1/4x = 1/4 değeri denklemdeki log⁡4x(8x)\log_{4x}(8x) teriminin tabanını 1 yaptığından tanımsızlığa neden olur ve elenir. Bu yüzden tek geçerli çözüm yarım (1/2) değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Sol taraftaki logaritmik ifadeyi taban değiştirme kuralı yardımıyla sadeleştirin.
log⁡2(x)⋅log⁡x(4x)⋅log⁡4x(8x)=log⁡2(8x)=3+log⁡2x\log_2(x) \cdot \log_x(4x) \cdot \log_{4x}(8x) = \log_2(8x) = 3 + \log_2 x
Zincir kuralı ve taban değiştirme özellikleri sayesinde çarpım durumundaki ifadeler sadeleşir ve tek bir logaritma tabanına indirgenir.
2
Sağ taraftaki ifadeyi 2 tabanında yazın.
log⁡x(14)=log⁡x(2−2)=−2log⁡2x\log_x\left(\frac{1}{4}\right) = \log_x(2^{-2}) = \frac{-2}{\log_2 x}
Denklemi tek bir değişken cinsinden çözebilmek için tüm ifadeleri aynı logaritma tabanına dönüştürmek gerekir.
3
t=log⁡2xt = \log_2 x dönüşümü yaparak denklemi çözün.
3+t=−2t  ⟹  t2+3t+2=0  ⟹  (t+1)(t+2)=0  ⟹  t=−1 veya t=−23 + t = -\frac{2}{t} \implies t^2 + 3t + 2 = 0 \implies (t+1)(t+2) = 0 \implies t = -1 \text{ veya } t = -2
İkinci dereceden bir denklem elde ederek olası kök adaylarını belirlemek.
4
tt değerlerinden xx değerlerini bulun ve logaritmanın tanım kümesini kontrol edin.
t=−1  ⟹  x=12t = -1 \implies x = \frac{1}{2} (geçerli); t=−2  ⟹  x=14t = -2 \implies x = \frac{1}{4} (tabanı 1 yaptığı için geçersiz).
Logaritma fonksiyonunun tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. x=14x = \frac{1}{4} değeri log⁡4x(8x)\log_{4x}(8x) ifadesinin tabanını 4⋅14=14 \cdot \frac{1}{4} = 1 yaptığından çözüm kümesine alınamaz.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic