Examkin

Question

Difficulty: HardYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x3−3ax2+3(a2−1)x+2f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(a^2 - 1)x + 2
fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları y=−2x+8y = -2x + 8 doğrusu üzerindedir.
Buna göre, aa değeri kaçtır?
  1. A
    1
  2. B
    32\frac{3}{2}
  3. 2Answer
  4. D
    3
  5. E
    -2

Answer

2
Doğru olan 2 değeri, ekstremum noktalarının koordinatlarının y=−2x+8y = -2x + 8 doğrusu üzerinde yer almasını sağlayan tek gerçel parametre değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevi alınarak yerel ekstremum noktalarının apsislerini veren denklem oluşturulur.
f′(x)=3x2−6ax+3(a2−1)=0f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3(a^2 - 1) = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem 3(x−(a−1))(x−(a+1))=03(x - (a - 1))(x - (a + 1)) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır ve kökleri x1=a−1x_1 = a - 1 ve x2=a+1x_2 = a + 1 olarak bulunur.
Türevin işaret değiştirdiği kritik noktalar yerel ekstremum noktalarının apsislerini verir.
2
Yerel ekstremum noktalarının ordinatlarını bulmak için apsis değerleri fonksiyonda yerine yazılır.
f(x)=(x−a)3−3(x−a)+a3−3a+2f(x) = (x-a)^3 - 3(x-a) + a^3 - 3a + 2 özdeşliği yardımıyla; f(a−1)=a3−3a+4f(a-1) = a^3 - 3a + 4 ve f(a+1)=a3−3af(a+1) = a^3 - 3a değerleri hesaplanır. Böylece yerel ekstremum noktaları A(a−1,a3−3a+4)A(a-1, a^3-3a+4) ve B(a+1,a3−3a)B(a+1, a^3-3a) olur.
Bir noktanın ordinatını bulmak için apsis değeri fonksiyon denkleminde yerine yazılmalıdır.
3
Bulunan ekstremum noktalarının y=−2x+8y = -2x + 8 doğrusu üzerinde olması şartı uygulanır.
B(a+1,a3−3a)B(a+1, a^3-3a) noktası doğru denkleminde yerine yazıldığında a3−3a=−2(a+1)+8  ⟹  a3−a−6=0a^3 - 3a = -2(a + 1) + 8 \implies a^3 - a - 6 = 0 denklemi elde edilir. Aynı işlem AA noktası için yapıldığında da aynı denklem bulunur.
Doğru üzerindeki her nokta, doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.
4
Elde edilen a3−a−6=0a^3 - a - 6 = 0 kübik denkleminin gerçel kökleri belirlenir.
a=2a = 2 değeri denklemi sağlar (23−2−6=02^3 - 2 - 6 = 0). Denklem çarpanlarına ayrıldığında (a−2)(a2+2a+3)=0(a - 2)(a^2 + 2a + 3) = 0 elde edilir. İkinci çarpanın diskriminantı Δ=4−12=−8<0\Delta = 4 - 12 = -8 < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur. Dolayısıyla tek gerçel çözüm a=2a = 2'dir.
aa değerinin gerçel sayı olması istendiği için sadece gerçel kökler kabul edilir.

Key Concept

Yerel ekstremum noktalarının türev yardımıyla bulunması ve koordinat geometrisiyle ilişkilendirilmesi

Alternative Method

Ekstremum noktalarının apsisleri toplamı olan x1+x2=2ax_1 + x_2 = 2a ve orta noktanın ordinatı olan yorta=a3−3a+2y_{orta} = a^3 - 3a + 2 kullanılarak, orta noktanın doğrunun üzerinde olması gerektiği bilgisinden de doğrudan a3−3a+2=−2a+8a^3 - 3a + 2 = -2a + 8 denklemi kurulabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic