Dik koordinat düzleminde, f(x) = x^2 parabolü ile bu parabolün x ekseni boyunca sağa 2 bir… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^2$ parabolü ile bu parabolün $x$ ekseni boyunca sağa $2$ birim ötelenmesiyle elde edilen $g(x)$ parabolü verilmiştir.

Buna göre; $f$ ve $g$ parabolleri ile $y$ ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A
$6$
B
$4$
C
$\frac{8}{3}$
D
$3$
$2$ Answer

Answer

Sınırlı bölgenin alanı 2 birimkaredir.

Verilen

f(x) = x^2

parabolünün sağa

2

birim ötelenmesiyle

g(x) = (x-2)^2

parabolü elde edilir. Bu iki parabolün kesişim noktası

x=1

apsisli noktadır. İstenen bölge sol taraftan

y

ekseni (

x=0

) ve sağ taraftan kesişim noktası (

x=1

) ile sınırlandırılmıştır. Bu aralıkta

g(x) \geq f(x)

olduğundan alan integral yardımıyla

\int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx = 2

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Sa��a ötelenmiş parabol denklemini elde etme

g(x) = f(x - 2) = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4

Bir fonksiyonun grafiği

x

ekseni boyunca sağa

a

birim ötelendiğinde yeni fonksiyon

f(x-a)

olur.

Parabollerin kesişim noktasını bulma

x^2 = x^2 - 4x + 4 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1

İki eğrinin kesişim noktasının apsisi, denklemlerinin ortak çözümü ile belirlenir.

İntegral sınırlarını belirleme ve alanı hesaplama

Alan =

\int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{1} (4 - 4x) \, dx = [4x - 2x^2]_0^1 = 4(1) - 2(1)^2 - 0 = 2

y

ekseni

x = 0

doğrusudur.

[0, 1]

aralığında

g(x) \geq f(x)

olduğundan üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak integral hesabı yapılır.

Key Concept

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral yardımıyla hesabı ve fonksiyonların yatay ötelenmesi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic