Examkin

Question

Difficulty: MediumMaksimum ve Minimum Problemleri

Tabanı kare, ��stü açık ve hacmi 48 m348\text{ m}^3 olan kare dik prizma biçimindeki bir su deposu inşa edilecektir. Bu deponun tabanını kaplamak için kullanılacak malzemenin metrekare fiyatı 15 TL15\text{ TL}, yan yüzeylerini kaplamak için kullanılacak malzemenin metrekare fiyatı ise 10 TL10\text{ TL}'dir. Buna göre, bu deponun kaplama maliyeti en az kaç TL'dir?

Answer: 720 TL

Answer

Deponun kaplama maliyeti en az 720 TL'dir.
Maliyet fonksiyonu M(x)=15x2+1920xM(x) = 15x^2 + \frac{1920}{x} olarak elde edildikten sonra türevi alınarak sıfıra eşitlendiğinde elde edilen x=4x = 4 değeri maliyeti minimum yapar. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında en küçük maliyet 720 TL720\text{ TL} olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Taban kenar uzunluğunu xx ve yüksekliği hh olarak tanımlayıp hacim formülünü oluşturun.
V=x2⋅h=48  ⟹  h=48x2V = x^2 \cdot h = 48 \implies h = \frac{48}{x^2}
Deponun hacmi 48 m348\text{ m}^3 olarak verilmiştir ve prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğinin ��arpımına eşittir.
2
Taban ve yan yüzeylerin alanlarını bulup birim fiyatlarla çarparak toplam maliyet fonksiyonunu xx cinsinden yazın.
M(x)=15⋅x2+10⋅(4xh)=15x2+40x(48x2)=15x2+1920xM(x) = 15 \cdot x^2 + 10 \cdot (4xh) = 15x^2 + 40x \left(\frac{48}{x^2}\right) = 15x^2 + \frac{1920}{x}
Taban alanı x2x^2 olup metrekare maliyeti 15 TL15\text{ TL}'dir. Üstü açık olduğu için sadece 4 adet yan yüzey (xhxh) kaplanacaktır ve yan yüzeylerin metrekare maliyeti 10 TL10\text{ TL}'dir.
3
Maliyet fonksiyonunun türevini alın.
M′(x)=30x−1920x2M'(x) = 30x - \frac{1920}{x^2}
Maliyeti minimum yapan noktayı bulmak için fonksiyonun birinci türevi sıfıra eşitlenmelidir.
4
Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulun.
30x−1920x2=0  ⟹  30x3=1920  ⟹  x3=64  ⟹  x=430x - \frac{1920}{x^2} = 0 \implies 30x^3 = 1920 \implies x^3 = 64 \implies x = 4
Maliyetin minimum değeri, türevin sıfır olduğu yerel ekstremum noktasında gerçekleşir.
5
Bulunan x=4x = 4 değerini maliyet fonksiyonunda yerine yazarak minimum maliyeti hesaplayın.
M(4)=15(4)2+19204=240+480=720M(4) = 15(4)^2 + \frac{1920}{4} = 240 + 480 = 720
x=4x = 4 değeri için maliyet fonksiyonunun aldığı değer en küçük maliyeti verir.

Key Concept

Maksimum ve minimum problemlerinde, kısıt denklemi yardımıyla hedef fonksiyon tek değişkene indirgenir ve türevi alınarak ekstremum noktası bulunur.
Rate this question

Topics

Maksimum ve Minimum Problemleri

More questions from this topic