Examkin

Question

Difficulty: Mediumİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Bir xx gerçel sayısı için,
(x−4)2(x+1)x−2≤0\frac{(x - 4)^2(x + 1)}{x - 2} \le 0
x2−3x−10≤0x^2 - 3x - 10 \le 0
eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam say��larının toplamı kaçtır?

Answer: 4

Answer

E��itsizlik sistemini sağlayan tam sayıların toplamı 4'tür.
Eşitsizlik sisteminin her iki bileşeni ayrı ayrı çözüldüğünde; ilk eşitsizlikten [−1,2)∪{4}[-1, 2) \cup \{4\} aralığı, ikinci eşitsizlikten ise [−2,5][-2, 5] aralığı elde edilir. Bu iki kümenin kesişimi [−1,2)∪{4}[-1, 2) \cup \{4\} kümesini verir. Bu kümedeki tam sayılar olan -1, 0, 1 ve 4 değerlerinin toplamı 4 olur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci rasyonel eşitsizliğin köklerini bulup işaret tablosuna göre çözüm aralığını belirleme.
Çözüm aralığı [−1,2)∪{4}[-1, 2) \cup \{4\} olarak elde edilir.
Rasyonel ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgeleri saptamak.
2
İkinci dereceden eşitsizliği çarpanlarına ayırıp köklerini saptama ve çözüm aralığını bulma.
Çözüm aralığı [−2,5][-2, 5] olarak bulunur.
İkinci ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgeyi saptamak.
3
Bulunan iki çözüm kümesinin kesişimini alma.
Ortak çözüm kümesi [−1,2)∪{4}[-1, 2) \cup \{4\} şeklinde belirlenir.
Sistemdeki her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerleri bulmak.
4
Çözüm kümesindeki tam sayı değerlerini toplayarak sonuca ulaşma.
Toplama işlemi: (−1)+0+1+4=4(-1) + 0 + 1 + 4 = 4 bulunur.
Soru kökünde istenen toplam değerini hesaplamak.

Key Concept

İkinci dereceden eşitsizlik sistemlerinde rasyonel ifadelerin çift katlı kök analizi, payda köklerinin hariç tutulması ve ortak çözüm kümesinin bulunması.
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri