Examkin

Question

Difficulty: HardYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi f′f' olmak üzere, her xx gerçel sayısı için
f′(x)=3(x−a)(x−b)f'(x) = 3(x-a)(x-b)
eşitliği sağlanmaktadır.

aa ve bb birbirinden farklı gerçel sayılar olmak üzere, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları arasındaki uzaklık 20\sqrt{20} birimdir.

Buna göre, ∣a−b∣|a-b| değeri kaçtır?

  1. A
    11
  2. B
    2\sqrt{2}
  3. 22Answer
  4. D
    5\sqrt{5}
  5. E
    33

Answer

22 değeri doğrudur.
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri aa ve bb olup, fonksiyonun ordinat değerleri arasındaki farkın mutlak değeri ∣f(a)−f(b)∣=∣a−b∣32|f(a)-f(b)| = \frac{|a-b|^3}{2} şeklinde elde edilir. İki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak d2+d64=20d^2 + \frac{d^6}{4} = 20 denklemi yazılır ve buradan d=2d = 2 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Yerel ekstremum noktalarının apsislerini belirleme
Türev fonksiyonu olan f′(x)=3(x−a)(x−b)f'(x) = 3(x-a)(x-b) ifadesinin kökleri x=ax = a ve x=bx = b'dir. a≠ba \neq b olduğundan, türev bu noktalarda işaret değiştirir ve dolayısıyla ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri aa ve bb olur.
Bir fonksiyonun türevlenebilir olduğu yerlerde yerel ekstremum noktaları, türevinin işaret değiştirdiği kökleridir.
2
Ekstremum noktalarının ordinatları arasındaki farkı cebirsel olarak ifade etme
f′(x)=3x2−3(a+b)x+3abf'(x) = 3x^2 - 3(a+b)x + 3ab integral alınarak fonksiyon f(x)=x3−32(a+b)x2+3abx+Cf(x) = x^3 - \frac{3}{2}(a+b)x^2 + 3abx + C şeklinde elde edilir. Buradan f(a)−f(b)=−12(a−b)3f(a) - f(b) = -\frac{1}{2}(a-b)^3 bulunur.
Noktalar arasındaki uzaklığı hesaplamak için ekstremum noktalarının koordinatları belirlenmelidir.
3
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulama
A(a,f(a))A(a, f(a)) ve B(b,f(b))B(b, f(b)) noktaları arasındaki uzaklık d=(a−b)2+(f(a)−f(b))2d = \sqrt{(a-b)^2 + (f(a)-f(b))^2} formülüyle hesaplanır. Buradan (a−b)2+(a−b)64=20(a-b)^2 + \frac{(a-b)^6}{4} = 20 elde edilir.
İki noktanın koordinatları bilindiğinde aralarındaki uzaklık Pisagor teoremi yardımıyla bulunur.
4
Elde edilen denklemi çözerek ∣a−b∣|a-b| değerini bulma
u=(a−b)2u = (a-b)^2 dönüşümü yapılırsa, u+u34=20  ⟹  u3+4u−80=0u + \frac{u^3}{4} = 20 \implies u^3 + 4u - 80 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin tek gerçel kökü u=4u = 4'tür. Buradan ∣a−b∣=4=2|a-b| = \sqrt{4} = 2 bulunur.
Cebirsel dereceyi düşürerek ∣a−b∣|a-b| değerini elde etmek için değişken dönüştürme yöntemi kullanılır.

Key Concept

Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri türevinin tek katlı kökleridir ve bu noktalar arasındaki geometrik uzaklık iki nokta arası uzaklık formülü ile bulunur.
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic