Examkin

Question

Difficulty: HardGeometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizinin tüm terimleri pozitif gerçel sayı olmak üzere,
S8S4=9781\frac{S_8}{S_4} = \frac{97}{81}
ve
S4=65S_4 = 65
olduğuna göre, bu dizinin üçüncü terimi (a3a_3) kaçtır?
  1. A
    8
  2. 12Answer
  3. C
    18
  4. D
    36
  5. E
    49\frac{4}{9}

Answer

Dizinin üçüncü terimi 12 olarak bulunur.
Dizinin terimlerinin pozitif olmasından yola çıkılarak ilk nn terim toplamı oranından ortak çarpan r=23r = \frac{2}{3} olarak bulunur. Ardından S4=65S_4 = 65 eşitliği kullanılarak dizinin ilk terimi a1=27a_1 = 27 olarak elde edilir. Bu iki değer geometrik dizi terim formülünde yerine yazıldığında üçüncü terim 12 değerini alır.

Step-by-Step Solution

1
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=a1⋅1−rn1−rS_n = a_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r} bağıntısını kullanarak S8S_8 ve S4S_4 oranını ortak çarpan rr cinsinden ifade ediniz.
S8S4=a1⋅1−r81−ra1⋅1−r41−r=1−r81−r4=1+r4\frac{S_8}{S_4} = \frac{a_1 \cdot \frac{1-r^8}{1-r}}{a_1 \cdot \frac{1-r^4}{1-r}} = \frac{1-r^8}{1-r^4} = 1 + r^4 elde edilir.
Bu oranlama işlemi sayesinde dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak çarpan paydası (1−r1-r) sadeleşerek doğrudan ortak çarpanı veren bağıntıya ulaşmamızı sağlar.
2
Elde edilen 1+r41 + r^4 ifadesini soruda verilen orana eşitleyerek ortak çarpan rr değerini bulunuz.
1+r4=9781  ⟹  r4=16811 + r^4 = \frac{97}{81} \implies r^4 = \frac{16}{81} olur. Dizinin terimleri pozitif gerçel sayılardan oluştuğu için ortak çarpan pozitif olmalıdır. Buradan r=16814=23r = \sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{2}{3} elde edilir.
Dizinin genel terimini ve diğer terimlerini bulabilmek için ortak çarpanın belirlenmesi şarttır.
3
Bulunan r=23r = \frac{2}{3} değerini S4S_4 toplam formülünde yerine yazarak dizinin ilk terimini (a1a_1) hesaplayınız.
S4=a1⋅1−(2/3)41−2/3=a1⋅1−168113=a1⋅6581⋅3=a1⋅6527S_4 = a_1 \cdot \frac{1 - (2/3)^4}{1 - 2/3} = a_1 \cdot \frac{1 - \frac{16}{81}}{\frac{1}{3}} = a_1 \cdot \frac{65}{81} \cdot 3 = a_1 \cdot \frac{65}{27} elde edilir. S4=65S_4 = 65 olduğu bilindiğine göre, a1⋅6527=65  ⟹  a1=27a_1 \cdot \frac{65}{27} = 65 \implies a_1 = 27 bulunur.
Dizinin herhangi bir spesifik terimine ulaşabilmek için dizinin başlangıç terimi (a1a_1) hesaplanmalıdır.
4
İlk terim (a1a_1) ve ortak çarpan (rr) değerlerini geometrik dizinin genel terim formülünde yerine koyarak üçüncü terimi (a3a_3) hesaplayınız.
a3=a1⋅r2=27⋅(23)2=27⋅49=12a_3 = a_1 \cdot r^2 = 27 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 27 \cdot \frac{4}{9} = 12 elde edilir.
Soruda istenen üçüncü terim değerini bulmak için.

Key Concept

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

More questions from this topic