Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=log⁡x−210−x(x2−25)f(x) = \log_{\frac{x-2}{10-x}}(x^2 - 25)
fonksiyonunu tanımlı kılan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 24

Answer

İlgili koşulların kesişimi alındığında fonksiyonu tanımlı yapan tam sayılar 7, 8 ve 9 olup bu sayıların toplamı 24'tür.
Fonksiyonun tanımlı olması için x2−25>0x^2-25>0, x−210−x>0\frac{x-2}{10-x}>0 ve x−210−x≠1\frac{x-2}{10-x}\neq1 şartlarının kesişimi alınmalıdır. Bu kesişim (5,10)∖{6}(5, 10) \setminus \{6\} kümesini verir. Bu kümedeki tam sayılar 7, 8 ve 9 olup toplamları 24'tür.

Step-by-Step Solution

1
Argümanın pozitiflik şartını belirlemek
x∈(−∞,−5)∪(5,∞)x \in (-\infty, -5) \cup (5, \infty)
Logaritma tanımı gereği, logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır (x2−25>0x^2 - 25 > 0).
2
Tabanın pozitiflik şartını belirlemek
x∈(2,10)x \in (2, 10)
Logaritma tanımı gereği, logaritmanın tabanı sıfırdan büyük olmalıdır (x−210−x>0\frac{x-2}{10-x} > 0).
3
Tabanın 1'den farklı olma şartını incelemek
x≠6x \neq 6
Logaritma tanımı gereği, taban 1 değerine eşit olamaz (x−210−x≠1\frac{x-2}{10-x} \neq 1).
4
Bulunan tüm koşulların kesişimini alıp tam sayı değerlerini toplamak
Tanım kümesi (5,10)∖{6}(5, 10) \setminus \{6\} ve toplam 7+8+9=247 + 8 + 9 = 24
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için tüm şartların eş zamanlı olarak sağlanması gerekir. Bu aralıktaki tam sayılar toplanır.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken tabanın pozitif ve 1'den farklı olması, argümanın ise pozitif olması şartları birlikte incelenir.
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi