Examkin

Question

Difficulty: HardLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
log⁡a(b⋅c)=3\log_a(b \cdot c) = 3
log⁡b(a⋅c)=4\log_b(a \cdot c) = 4
eşitlikleri verilmiştir.
Buna göre, aa, bb ve cc sayıları 1'den farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
log⁡c(a⋅b)\log_c(a \cdot b)
ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    712\frac{7}{12}
  2. 911\frac{9}{11}Answer
  3. C
    125\frac{12}{5}
  4. D
    2011\frac{20}{11}
  5. E
    920\frac{9}{20}

Answer

İfadenin doğru değeri 911\frac{9}{11}'dir.
Verilen iki denkleme sırasıyla log⁡aa=1\log_a a = 1 ve log⁡bb=1\log_b b = 1 eklendiğinde logaritmaların içleri abcabc çarpımına dönüşür. Taban değiştirme kuralı kullanılarak log⁡abca=1/4\log_{abc} a = 1/4 ve log⁡abcb=1/5\log_{abc} b = 1/5 bulunur. log⁡abc(abc)=1\log_{abc}(abc) = 1 toplamından log⁡abcc=11/20\log_{abc} c = 11/20 elde edilir. İstenen ifade log⁡c(ab)=log⁡abca+log⁡abcblog⁡abcc\log_c(ab) = \frac{\log_{abc} a + \log_{abc} b}{\log_{abc} c} şeklinde taban değiştirilerek oranlandığında doğru sonuç 911\frac{9}{11} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen logaritma ifadelerinde çarpım özelliğini kullanarak ifadeleri toplam şeklinde yazalım.
log⁡ab+log⁡ac=3\log_a b + \log_a c = 3 ve log⁡ba+log⁡bc=4\log_b a + \log_b c = 4 elde edilir.
Logaritmanın çarpım özelliğine göre log⁡x(y⋅z)=log⁡xy+log⁡xz\log_x(y \cdot z) = \log_x y + \log_x z kuralı geçerlidir.
2
Her iki eşitliğe sırasıyla log⁡aa=1\log_a a = 1 ve log⁡bb=1\log_b b = 1 ekleyerek argüman kısmında ortak a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c terimini elde edelim.
log⁡a(a⋅b⋅c)=4\log_a(a \cdot b \cdot c) = 4 ve log⁡b(a⋅b⋅c)=5\log_b(a \cdot b \cdot c) = 5 olur.
Tüm ifadeleri tek bir ortak tabanda birleştirebilmek için abcabc ortak çarpımını oluşturuyoruz.
3
Taban değiştirme kuralı yardımıyla elde ettiğimiz ifadeleri abcabc tabanına dönüştürelim.
log⁡abca=14\log_{abc} a = \frac{1}{4} ve log⁡abcb=15\log_{abc} b = \frac{1}{5} bulunur.
log⁡xy=1log⁡yx\log_x y = \frac{1}{\log_y x} özelliği sayesinde logaritmaların tabanlarını eşitlemiş oluruz.
4
Taban ile argümanı aynı olan logaritmanın değerinin 1 olmasından yararlanarak log⁡abcc\log_{abc} c değerini bulalım.
log⁡abc(a⋅b⋅c)=1  ⟹  log⁡abca+log⁡abcb+log⁡abcc=1  ⟹  14+15+log⁡abcc=1  ⟹  log⁡abcc=1−920=1120\log_{abc}(a \cdot b \cdot c) = 1 \implies \log_{abc} a + \log_{abc} b + \log_{abc} c = 1 \implies \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \log_{abc} c = 1 \implies \log_{abc} c = 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20} bulunur.
Ortak tabandaki bilinen iki terimi kullanarak üçüncü bilinmeyen terimin değerini denklemden çekeriz.
5
İstenen log⁡c(a⋅b)\log_c(a \cdot b) ifadesini taban değiştirme kuralı ile ortak taban olan abcabc cinsinden yazarak hesaplayalım.
log⁡c(a⋅b)=log⁡abc(a⋅b)log⁡abcc=log⁡abca+log⁡abcblog⁡abcc=14+151120=9201120=911\log_c(a \cdot b) = \frac{\log_{abc}(a \cdot b)}{\log_{abc} c} = \frac{\log_{abc} a + \log_{abc} b}{\log_{abc} c} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{5}}{\frac{11}{20}} = \frac{\frac{9}{20}}{\frac{11}{20}} = \frac{9}{11} elde edilir.
Taban değiştirme kuralı olan log⁡yx=log⁡zxlog⁡zy\log_y x = \frac{\log_z x}{\log_z y} formülü uygulanmıştır.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Alternative Method

Eşitliklerde her iki tarafı abcabc tabanına çevirmek yerine doğrudan log⁡xy=ln⁡yln⁡x\log_x y = \frac{\ln y}{\ln x} yazarak doğal logaritma tabanına geçiş yapılabilir veya logaritmanın taban değiştirme kuralı herhangi bir ortak taban üzerinden de yürütülebilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic