Examkin

Question

Difficulty: HardTekrarlı Permütasyon

Bir kütüphaneci; 3 özdeş Matematik, 3 özdeş Fizik ve 2 özdeş Kimya kitabını bir rafa yan yana dizecektir. Bu dizilimde Fizik kitaplarının herhangi ikisinin yan yana gelmediği ve Kimya kitaplarının da yan yana gelmediği bilindiğine göre, bu kitaplar kaç farklı şekilde dizilebilir?

  1. A
    120
  2. 160Answer
  3. C
    200
  4. D
    240
  5. E
    320

Answer

Kitapların istenen koşullara uygun olarak dizilebileceği farklı durumların sayısı 160'tır.
Fizik kitaplarının herhangi ikisinin yan yana gelmediği tüm durumlar (200 adet), Matematik ve Kimya kitaplarının dizilip aralarındaki boşluklara Fizik kitaplarının yerleştirilmesiyle bulunur. Bu durumlardan, Kimya kitaplarının yan yana geldiği durumlar (40 adet) çıkarıldığında hem Fizik hem de Kimya kitaplarının yan yana gelmediği 160 farklı durum elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fizik kitaplarının yan yana gelmeme durumunu incelemek için öncelikle Matematik ve Kimya kitaplarının yerleşimini hesaplayın.
Toplam 5 kitap (3 Matematik, 2 Kimya) vardır. Bu kitaplar ��zdeş olduğundan kendi aralarındaki tekrarlı permütasyon sayısı 5!3!⋅2!=10\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 olur.
Fizik kitaplarının yan yana gelmemesi için diğer kitapların oluşturduğu boşluklara yerleştirilmesi gerekir.
2
Matematik ve Kimya kitaplarının oluşturduğu boşluklara Fizik kitaplarını yerleştirerek Fizik kitaplarının yan yana gelmediği tüm durumları bulun.
5 kitabın oluşturduğu 6 boşluğa 3 özdeş Fizik kitabı (63)=20\binom{6}{3} = 20 farklı şekilde yerleştirilebilir. Bu durumda toplam dizilim sayısı 10×20=20010 \times 20 = 200 olur.
Her boşluğa en fazla bir Fizik kitabı yerleştirildiğinde hiçbir Fizik kitabı yan yana gelmemiş olur.
3
Kimya kitaplarının yan yana geldiği (istenmeyen) durumların sayısını hesaplamak için Kimya kitaplarını bir blok olarak kabul edin.
İki özdeş Kimya kitabı yan yana olacağından tek bir blok [KK][KK] olarak düşünülür. Bu durumda elimizde 3 özdeş Matematik kitabı ve 1 adet [KK][KK] bloğu olmak üzere 4 nesne vardır. Bu nesnelerin kendi arasındaki tekrarlı permütasyon sayısı 4!3!⋅1!=4\frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4 olur.
Birlikte olması gereken nesneler tek bir eleman gibi düşünülerek yerleştirilir.
4
Bu 4 nesnenin oluşturduğu boşluklara Fizik kitaplarını yerleştirerek Kimya kitaplarının yan yana, Fizik kitaplarının ise ayrı olduğu durumları bulun.
4 nesnenin oluşturduğu 5 boşluğa 3 özdeş Fizik kitabı (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde yerleştirilebilir. Bu durumların sayısı 4×10=404 \times 10 = 40 olur.
Fizik kitaplarının yine yan yana gelmemesini sağlarken Kimya kitaplarının yan yana olduğu durumları belirlemek gerekir.
5
Fizik kitaplarının yan yana gelmediği tüm durumlardan, Kimya kitaplarının yan yana olduğu durumları çıkararak nihai sonucu bulun.
200−40=160200 - 40 = 160 farklı dizilim elde edilir.
Tüm geçerli durumlardan istenmeyen durumların çıkarılmasıyla hedeflenen koşula ulaşılır.

Key Concept

Koşullu tekrarlı permütasyon problemlerinde istenen durumların sayısını bulmak için tüm durumlardan istenmeyen durumların (bloklama yöntemiyle) çıkarılması ve boşluklara yerleştirme yöntemlerinin birlikte kullanılması.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Tekrarlı Permütasyon

More questions from this topic