Examkin

Question

Difficulty: HardRiemann Toplamı

Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve iki kez türevlenebilir bir ff fonksiyonunun grafiği [2,8][2, 8] aralığında azalan ve konveks (yukarı bükülmüş) bir yapıya sahiptir.

Bu aralık, eşit uzunlukta 3 alt aralığa bölünerek ff fonksiyonunun bu bölüntüye göre;
I. Riemann alt toplamı AA,
II. Riemann üst toplamı U¨Ü,
III. Riemann orta toplamı OO

değerleri hesaplanıyor.

Buna göre; AA, U¨Ü ve OO değerleri ile I=∫28f(x) dxI = \int_{2}^{8} f(x) \, dx belirli integralinin değeri arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A<O<I<U¨A < O < I < ÜAnswer
  2. B
    A<I<O<U¨A < I < O < Ü
  3. C
    O<A<I<U¨O < A < I < Ü
  4. D
    A<O<U¨<IA < O < Ü < I
  5. E
    O<I<A<U¨O < I < A < Ü

Answer

A<O<I<U¨A < O < I < Ü sıralaması doğrudur.
Fonksiyonun azalan olması (f′(x)<0f'(x) < 0) nedeniyle Riemann alt toplamı integralden küçük, Riemann üst toplamı ise integralden büyüktür. Fonksiyonun konveks (f′′(x)>0f''(x) > 0) olması nedeniyle, her alt aralıkta orta noktadan çizilen teğetlerin altında kalan alan (orta toplam) integral alanından küçüktür. Son olarak, fonksiyon azalan olduğundan orta noktadaki yükseklik sağ uçtaki yükseklikten büyük olup, orta toplam alt toplamdan büyüktür. Bu üç bilgi birleştirildiğinde doğru sıralama elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunu inceleyerek alt ve üst Riemann toplamları ile integral arasındaki ilişkiyi kuralım.
A<I<U¨A < I < Ü
f′(x)<0f'(x) < 0 olduğundan fonksiyon azalandır. Azalan bir fonksiyonda her alt aralıktaki minimum değer sağ uç noktada (alt toplamı üretir), maksimum değer ise sol uç noktada (üst toplamı üretir) alınır. Dolayısıyla alt toplam integralden küçük, üst toplam ise integralden büyüktür.
2
Fonksiyonun konvekslik durumunu inceleyerek Riemann orta toplamı ile integral arasındaki ilişkiyi belirleyelim.
O<IO < I
f′′(x)>0f''(x) > 0 olduğundan fonksiyon konvekstir (yukarı bükülmüştür). Konveks eğrilerde, alt aralıkların orta noktalarından çizilen teğet doğruları daima fonksiyon grafiğinin altında kalır. Orta toplam, bu teğet doğrularının altında kalan alanların toplamına eşit olduğundan, eğri altında kalan net alandan (integral) küçüktür.
3
Riemann alt toplamı ile Riemann orta toplamı arasındaki ilişkiyi karşılaştıralım.
A<OA < O
Her [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] alt aralığında, orta nokta mim_i değeri sağ uç nokta xix_i değerinden küçüktür (mi<xim_i < x_i). Fonksiyon azalan olduğundan f(mi)>f(xi)f(m_i) > f(x_i) olur. Bu durum, orta toplamı oluşturan dikdörtgenlerin yüksekliklerinin, alt toplamı oluşturan dikdörtgenlerin y��ksekliklerinden daha büyük olmasını sağlar.
4
Bulunan tüm eşitsizlikleri birleştirerek kesin sıralamayı elde edelim.
A<O<I<U¨A < O < I < Ü
A<OA < O, O<IO < I ve I<U¨I < Ü eşitsizlikleri birleştirildiğinde istenen sıralama doğrudan elde edilir.

Key Concept

Bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerinin işaretleri sırasıyla onun artanlık/azalanlık ve konvekslik/konkavlık durumunu belirler; bu durumlar ise Riemann alt, üst ve orta toplamlarının belirli integral değeriyle olan büyüklük ilişkisini tayin eder.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Riemann Toplamı

More questions from this topic