Examkin

Question

Difficulty: MediumRiemann Toplamı
f:[0,2]→R,f(x)=3xf: [0, 2] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = 3^x fonksiyonu veriliyor. [0,2][0, 2] kapalı aralığı, eşit uzunlukta 44 alt aralığa bölünerek bir PP düzgün bölüntüsü elde ediliyor.

ff fonksiyonunun PP bölüntüsüne ait Riemann üst toplamı UU ve Riemann alt toplamı AA olduğuna göre, U−AU - A farkı kaçtır?

  1. A
    2
  2. 4Answer
  3. C
    6
  4. D
    8
  5. E
    12

Answer

Riemann üst toplamı ile alt toplamı arasındaki fark 4'tür.
Artan bir fonksiyonun Riemann üst toplamı ile alt toplamı arasındaki fark, fonksiyonun tanım kümesinin uç noktalarındaki değerlerinin farkı ile alt aralık genişliğinin çarpımıyla pratik olarak bulunur. Bu soruda fonksiyon f(x)=3xf(x) = 3^x sürekli artan olup, aralık [0,2][0, 2] ve parça sayısı 44 olduğundan aralık genişliği 0,50,5 birimdir. Formüle göre fark (f(2)−f(0))⋅0,5=(9−1)⋅0,5=4(f(2) - f(0)) \cdot 0,5 = (9 - 1) \cdot 0,5 = 4 şeklinde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Alt aralık genişliğini (\Delta x) hesaplama
Δx=2−04=0,5\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0,5
Bölüntünün eşit uzunluktaki alt aralıklarının taban uzunluğunu bulmak için toplam aralık uzunluğu alt aralık say��sına bölünür.
2
Bölüntü noktalarını ve fonksiyonun bu noktalardaki değerlerini belirleme
Bölüntü noktaları: x0=0x_0 = 0, x1=0,5x_1 = 0,5, x2=1x_2 = 1, x3=1,5x_3 = 1,5, x4=2x_4 = 2 şeklindedir. f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonu [0,2][0, 2] aralığında sürekli artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyon en küçük değerini sol uçta, en büyük de��erini ise sağ uçta alır.
Riemann alt toplamında alt aralıkların sol uç değerleri, üst toplamında ise sağ uç değerleri yükseklik olarak kullanılır.
3
Riemann üst ve alt toplamlarının farkını hesaplama
A=[f(0)+f(0,5)+f(1)+f(1,5)]⋅0,5A = [f(0) + f(0,5) + f(1) + f(1,5)] \cdot 0,5
U=[f(0,5)+f(1)+f(1,5)+f(2)]⋅0,5U = [f(0,5) + f(1) + f(1,5) + f(2)] \cdot 0,5
U−A=[f(2)−f(0)]⋅0,5=(32−30)⋅0,5=(9−1)⋅0,5=4U - A = [f(2) - f(0)] \cdot 0,5 = (3^2 - 3^0) \cdot 0,5 = (9 - 1) \cdot 0,5 = 4
Çıkarma işleminde ara noktalardaki fonksiyon değerleri birbirini sadeleştirir ve geriye yalnızca uç noktalardaki değerlerin farkı ile aralık genişliğinin çarpımı kalır.

Key Concept

Riemann alt ve üst toplamlarının farkının, monoton (artan veya azalan) fonksiyonlarda uç değerler ve alt aralık genişliğiyle olan ilişkisi.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Riemann Toplamı

More questions from this topic