Examkin

Question

Difficulty: MediumSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları
f(x)={x2−ax+4x2−3x+2,x>2bx−1,x≤2f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax + 4}{x^2 - 3x + 2}, & x > 2 \\ bx - 1, & x \leq 2 \end{cases} biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde süreklidir.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

  1. A
    −52-\frac{5}{2}
  2. B
    00
  3. 22Answer
  4. D
    44
  5. E
    88

Answer

Çarpımın doğru değeri 22 olmalıdır.
Süreklilik gereği, x=2x=2 noktasında sağdan limit, soldan limit ve fonksiyon değeri eşit olmalıdır. Sağdan limitin sonlu bir gerçel sayı olması için paydasındaki x−2x-2 çarpanının sadeleşmesi gerekir, bu da a=4a=4 olmasını gerektirir. Sadeleşme sonrasında sağdan limit 00 olur. Soldan limitin de 00 olması için 2b−1=0  ⟹  b=1/22b-1=0 \implies b=1/2 olmalıdır. Buradan doğru çarpım sonucu 22 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
x>2x > 2 aralığındaki rasyonel ifadenin paydasını çarpanlarına ayırarak tanımsızlık durumunu analiz etmek.
x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) olur. Bu ifadenin kökleri x=1x=1 ve x=2x=2'dir. Fonksiyon x>2x > 2 aralığında tanımlandığından, x=1x=1 kökü bu aralıkta değildir ve süreksizliğe yol açmaz. Ancak sınır noktası olan x=2x=2 paydanın köküdür.
Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik sınır noktası olan x=2x=2'de sağdan limitinin var ve sonlu olması şarttır.
2
x→2+x \to 2^+ için sağdan limitin mevcut olması amacıyla pay ifadesinin alması gereken değeri bulmak.
lim⁡x→2+x2−ax+4(x−1)(x−2)\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - ax + 4}{(x-1)(x-2)} limitinde payda sıfıra yaklaşmaktadır. Limitin sonlu bir gerçel sayı olabilmesi için payın da sıfıra yaklaşması gerekir (0/00/0 belirsizliği). Buradan, 22−a(2)+4=0  ⟹  8−2a=0  ⟹  a=42^2 - a(2) + 4 = 0 \implies 8 - 2a = 0 \implies a = 4 elde edilir.
Pay sıfırdan farklı olsaydı, limit ±∞\pm\infty olurdu ve fonksiyon x=2x=2 noktasında sürekli olamazdı.
3
a=4a = 4 değeri için sağdan limit değerini hesaplamak.
lim⁡x→2+x2−4x+4(x−1)(x−2)=lim⁡x→2+(x−2)2(x−1)(x−2)=lim⁡x→2+x−2x−1=2−22−1=01=0\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4x + 4}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x-2)^2}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x-2}{x-1} = \frac{2-2}{2-1} = \frac{0}{1} = 0 bulunur.
Süreklilik şartı gereği sağdan limitin tam değerini bulup soldan limit değeriyle eşitlemek gerekir.
4
x=2x=2 noktasındaki soldan limiti sağdan limite eşitleyerek bb parametresini ve ardından a⋅ba \cdot b çarpımını bulmak.
Soldan limit lim⁡x→2−(bx−1)=2b−1\lim_{x \to 2^-} (bx - 1) = 2b - 1 olur. Süreklilik için lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)  ⟹  2b−1=0  ⟹  b=12\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) \implies 2b - 1 = 0 \implies b = \frac{1}{2} elde edilir. Buradan a⋅b=4⋅12=2a \cdot b = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 bulunur.
Süreklilik tanımı uyarınca kritik noktadaki sağdan limit, soldan limit ve fonksiyonun o noktadaki değeri birbirine eşit olmalıdır.

Key Concept

Bir fonksiyonun parçalı tanımlı kritik noktalarda ve rasyonel ifadelerde süreklilik şartı, limitin varlığı ve 0/00/0 belirsizliğinin giderilmesi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

More questions from this topic