Examkin

Question

Difficulty: HardBileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için

f(2)=12f(2) = \frac{1}{2}
f′(2)=3f'(2) = 3

eşitlikleri sağlanmaktadır.
g(x)=f(x2⋅f(x))g(x) = f(x^2 \cdot f(x))

olduğuna göre, g′(2)g'(2) değeri kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    6
  3. C
    14
  4. D
    36
  5. 42Answer

Answer

42
Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralı uygulanır: g′(x)=f′(x2⋅f(x))⋅(x2⋅f(x))′g'(x) = f'(x^2 \cdot f(x)) \cdot (x^2 \cdot f(x))'. İçteki fonksiyonun türevi alınırken çarpım kuralı kullanılarak (x2⋅f(x))′=2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)(x^2 \cdot f(x))' = 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) elde edilir. Bilinen değerler (x=2x=2, f(2)=1/2f(2)=1/2, f′(2)=3f'(2)=3) yerlerine yazıldığında içteki ifadenin türevi 1414 ve dıştaki türev f′(2)=3f'(2) = 3 olur. Bu iki değerin çarpımı olan 4242 doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını uygulayınız.
g′(x)=f′(x2⋅f(x))⋅(x2⋅f(x))′g'(x) = f'(x^2 \cdot f(x)) \cdot (x^2 \cdot f(x))'
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi, içteki fonksiyon aynen korunarak alınır ve ardından içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.
2
İçteki fonksiyon olan u(x)=x2⋅f(x)u(x) = x^2 \cdot f(x) ifadesinin türevi için çarpım kuralını uygulayınız.
u′(x)=2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)u'(x) = 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x)
Çarpım durumundaki iki ifadenin türevi: Birincinin türevi çarpı ikinci, artı ikincinin türevi çarpı birinci kural�� ile hesaplanır.
3
Türev ifadelerinde x=2x=2 değerini yerine yazarak gerekli hesaplamaları yapınız.
u(2)=22⋅f(2)=4⋅12=2u(2) = 2^2 \cdot f(2) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 ve u′(2)=2(2)⋅f(2)+22⋅f′(2)=4⋅12+4⋅3=2+12=14u'(2) = 2(2) \cdot f(2) + 2^2 \cdot f'(2) = 4 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot 3 = 2 + 12 = 14 elde edilir.
Bileşke fonksiyon türevini x=2x=2 noktasında değerlendirmek için hem içteki fonksiyonun değerine hem de bu noktadaki türevine ihtiyaç vardır.
4
Bulunan değerleri ana türev denkleminde yerine koyarak sonucu hesaplayınız.
g′(2)=f′(u(2))⋅u′(2)=f′(2)⋅14=3⋅14=42g'(2) = f'(u(2)) \cdot u'(2) = f'(2) \cdot 14 = 3 \cdot 14 = 42
Zincir kuralının son aşaması olarak dıştaki fonksiyonun türev değeri ile içteki fonksiyonun türev değerinin çarpılması gerekir.

Key Concept

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevinin çarpılması (zincir kuralı) gerekir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

More questions from this topic