Examkin

Question

Difficulty: Very hardParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3
fonksiyonunun her tt gerçel sayısı için [t,t+2][t, t+2] kapalı aralığındaki en büyük değeri M(t)M(t), en küçük değeri ise m(t)m(t) olarak tanımlanıyor.

Buna göre, g(t)=M(t)−m(t)g(t) = M(t) - m(t) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

  1. 1Answer
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Answer

g(t) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer 1'dir.
g(t) fonksiyonunu en küçük yapmak için parabolün [t, t+2] aralığındaki en büyük ve en küçük değerleri arasındaki farkı minimize etmeliyiz. f(x) fonksiyonunun tepe noktası x = 1'dir. Aralığın tepe noktasını ortaladığı durum olan t = 0 için aralık [0, 2] olur. Bu aralıkta tepe noktası x = 1 tam ortadadır. Dolayısıyla x = 0 ve x = 2 noktalarındaki fonksiyon değerleri birbirine eşit ve en büyük değer olan 3'tür. En küçük değer ise tepe noktasındaki 2 değeridir. Aradaki fark 3 - 2 = 1 olur ve bu g(t)'nin alabileceği en küçük değerdir.

Step-by-Step Solution

1
f(x) fonksiyonunun tepe noktasını bulalım.
f(x) = x^2 - 2x + 3 fonksiyonunda a = 1, b = -2 ve c = 3'tür. Tepe noktasının apsisi r = -b / (2a) = -(-2) / 2 = 1 ve ordinatı k = f(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 2 olur. Yani tepe noktası T(1, 2) noktasıdır.
Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için öncelikle tepe noktasının koordinatlarını belirlemeliyiz.
2
[t, t+2] aralığının uzunluğunu ve tepe noktasının bu aralığa göre konumunu analiz edelim.
Aralığın uzunluğu (t+2) - t = 2 birimdir. Tepe noktası olan x = 1 noktasının aralığa göre konumunu üç farklı duruma göre incelememiz gerekir: t < -1, -1 <= t <= 1 ve t > 1.
Tepe noktasının aralığın içinde olup olmaması, fonksiyonun alacağı en büyük ve en küçük değerlerin yerini belirler.
3
-1 <= t <= 1 durumunu inceleyelim.
Bu durumda x = 1 (tepe noktası) aralığın içindedir. Dolayısıyla fonksiyonun bu aralıktaki en küçük değeri tepe noktasındaki değeridir: m(t) = f(1) = 2. En büyük değer ise aralığın uç noktalarından hangisi tepe noktasına daha uzaksa orada alınır. Aralığın orta noktası t+1'dir. Eğer -1 <= t < 0 ise, orta nokta 1'in solunda olduğundan sol uç nokta t tepe noktasına daha uzaktır ve M(t) = f(t) = t^2 - 2t + 3 olur. Buradan g(t) = M(t) - m(t) = (t-1)^2 elde edilir. Eğer 0 <= t <= 1 ise, orta nokta 1'in sağında veya üzerinde olduğundan sağ uç nokta t+2 tepe noktasına daha uzaktır ve M(t) = f(t+2) = t^2 + 2t + 3 olur. Buradan g(t) = M(t) - m(t) = (t+1)^2 elde edilir. Bu iki durum birleştirildiğinde, [-1, 1] aralığında g(t) fonksiyonunun en küçük değeri t = 0 için (0+1)^2 = 1 olur.
Tepe noktasının aralık içinde olduğu durumlarda en küçük değer sabittir ve en büyük değer tepe noktasına olan uzaklığa göre değişir.
4
t < -1 ve t > 1 durumlarını inceleyelim.
t < -1 ise x = 1 noktası aralığın sağındadır ve fonksiyon azalandır. g(t) = f(t) - f(t+2) = -4t olur. t < -1 için g(t) > 4 elde edilir. t > 1 ise x = 1 noktası aralığın solundadır ve fonksiyon artandır. g(t) = f(t+2) - f(t) = 4t olur. t > 1 için g(t) > 4 elde edilir. Tüm durumlar birleştirildiğinde, g(t) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer 1 olarak bulunur.
Tepe noktasının aralık dışında olduğu durumlarda fonksiyon monoton olduğundan en büyük ve en küçük değerler daima uç noktalarda alınır.

Key Concept

Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulurken tepe noktasının aralığa göre konumunun analizi.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

More questions from this topic