Examkin

Question

Difficulty: MediumGeometrik Dizi ve Özellikleri
Tüm terimleri pozitif olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde
a5−a3=12a4+a3=6\begin{aligned} a_5 - a_3 &= 12 \\ a_4 + a_3 &= 6 \end{aligned}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    -12
  3. C
    12\frac{1}{2}
  4. 16\frac{1}{6}Answer
  5. E
    32\frac{3}{2}

Answer

Dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri 16\frac{1}{6} olarak bulunur.
Dizinin terimleri üçüncü terim ve ortak çarpan cinsinden yazılıp oranlandığında ortak çarpan 3 olarak bulunur. İkinci denklemde yerine yazıldığında üçüncü terim 3/2 elde edilir. Buradan dizinin ilk terimi 1/6 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin terimlerini üçüncü terim (a3a_3) ve ortak çarpan (rr) cinsinden ifade etmek.
a5=a3⋅r2a_5 = a_3 \cdot r^2 ve a4=a3⋅ra_4 = a_3 \cdot r ifadeleri elde edilir. Bu ifadeler verilen denklemlerde yerine yazıldığında a3(r2−1)=12a_3(r^2 - 1) = 12 ve a3(r+1)=6a_3(r + 1) = 6 denklemleri elde edilir.
Denklemleri ortak terimler cinsinden yazıp sadeleştirebilmek için.
2
Elde edilen denklemleri taraf tarafa oranlamak.
a3(r2−1)a3(r+1)=126⇒r−1=2⇒r=3\frac{a_3(r^2 - 1)}{a_3(r + 1)} = \frac{12}{6} \Rightarrow r - 1 = 2 \Rightarrow r = 3 olarak bulunur.
Dizinin ortak çarpanını (rr) elde etmek için.
3
Bulunan rr değerini ikinci denklemde yerine yazarak a3a_3 değerini hesaplamak.
a3(3+1)=6⇒4a3=6⇒a3=32a_3(3 + 1) = 6 \Rightarrow 4a_3 = 6 \Rightarrow a_3 = \frac{3}{2} bulunur.
Dizinin üçüncü terimine ulaşıp ilk terimi bulmayı kolaylaştırmak için.
4
Geometrik dizinin genel terim ilişkisini kullanarak birinci terimi (a1a_1) bulmak.
a1=a3r2⇒a1=3/29=16a_1 = \frac{a_3}{r^2} \Rightarrow a_1 = \frac{3/2}{9} = \frac{1}{6} olarak hesaplanır.
Soruda istenen birinci terim değerine ulaşmak için.

Key Concept

Geometrik Dizilerde Terimler Arasındaki İlişki ve Ortak Çarpan Bulma

Alternative Method

Dizinin terimlerini doğrudan birinci terim ve ortak çarpan cinsinden yazarak denklemleri taraf tarafa oranlayıp ortak çarpana ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Geometrik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic