Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Dik koordinat düzleminde, merkezi orijin olan birim çembere ikinci bölgedeki bir PP noktasından çizilen teğet doğrusu, xx-eksenini A(−1.25,0)A(-1.25, 0) noktasında kesmektedir. Buna göre, PP noktasının ordinatı kaçtır?

Answer: 0.6

Answer

P noktasının ordinatı 0.6 olarak bulunur.
Teğet doğrusunun denklemi yardımıyla PP noktasının apsis değeri cos⁡θ=−0.8\cos\theta = -0.8 olarak bulunur. PP noktası ikinci bölgede olduğundan ordinat değeri olan sin⁡θ\sin\theta pozitif olmalıdır. Buradan sin⁡θ=1−(−0.8)2=0.6\sin\theta = \sqrt{1 - (-0.8)^2} = 0.6 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Teğet doğrusunun denklemini birim çember üzerindeki nokta cinsinden ifade etmek.
Teğet doğrusu x⋅cos⁡θ+y⋅sin⁡θ=1x \cdot \cos\theta + y \cdot \sin\theta = 1 olarak kurulur.
Birim çember üzerindeki P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından çizilen teğetin denklemini elde etmek için.
2
Teğet doğrusunun xx-eksenini kestiği A noktasının koordinatlarını denklemde yerine yazmak.
−1.25⋅cos⁡θ=1  ⟹  cos⁡θ=−0.8-1.25 \cdot \cos\theta = 1 \implies \cos\theta = -0.8 elde edilir.
Verilen A noktasının doğru üzerinde olması şartını kullanarak cos⁡θ\cos\theta değerini bulmak için.
3
Trigonometrik özdeşlik ve bölge işareti yard��mıyla sinüs değerini hesaplamak.
sin⁡θ=0.6\sin\theta = 0.6 bulunur.
İkinci bölgede yer alan P noktasının ordinatı (sin⁡θ\sin\theta) pozitif olduğundan sin⁡θ=1−(−0.8)2=0.6\sin\theta = \sqrt{1 - (-0.8)^2} = 0.6 hesabını yapmak için.

Key Concept

Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin özellikleri ve trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri.

Alternative Method

OPA dik üçgeni oluşturulur. Burada OP=1OP = 1 birim (yarıçap) ve OA=1.25OA = 1.25 birimdir. Pisagor teoreminden teğet uzunluğu AP=0.75AP = 0.75 birim bulunur. Öklid bağıntısı veya alan formülünden PP noktasının x-eksenine olan uzaklığı (yüksekliği) h=1⋅0.751.25=0.6h = \frac{1 \cdot 0.75}{1.25} = 0.6 birim olarak hesaplanır. İkinci bölgede ordinat pozitif olduğundan cevap 0.6'dır.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

More questions from this topic