Examkin

Question

Difficulty: EasyBileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
g(x)=x3+1g(x) = x^3 + 1
f′(2)=5f'(2) = 5
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, (f∘g)′(1)(f \circ g)'(1) ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    5
  2. B
    8
  3. C
    10
  4. D
    12
  5. 15Answer

Answer

Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre doğru cevap 15 olmalıdır.
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı gereğince (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) formülü kullanılır. Soruda verilen g(x)=x3+1g(x) = x^3 + 1 fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki değeri g(1)=2g(1) = 2 ve türevi g′(x)=3x2g'(x) = 3x^2 olduğundan g′(1)=3g'(1) = 3 olarak elde edilir. Bu değerler formülde yerine yazıldığında (f(g(1)))′=f′(2)⋅g′(1)=5⋅3=15(f(g(1)))' = f'(2) \cdot g'(1) = 5 \cdot 3 = 15 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyonun türevini veren kuralı (zincir kuralını) yazmak.
(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
Soruda istenen (f∘g)′(1)(f \circ g)'(1) değerini hesaplamak için genel türev ifadesini elde etmeliyiz.
2
x=1x = 1 için içteki fonksiyonun değerini (g(1)g(1)) ve türevinin değerini (g′(1)g'(1)) hesaplamak.
g(1)=13+1=2g(1) = 1^3 + 1 = 2 ve g′(x)=3x2  ⟹  g′(1)=3⋅12=3g'(x) = 3x^2 \implies g'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyon türevinde kullanılacak olan bileşenlerin sayısal değerlerini bulmak.
3
Hesaplanan değerleri türev formülünde yerine yazıp sonucu bulmak.
(f∘g)′(1)=f′(g(1))⋅g′(1)=f′(2)⋅g′(1)=5⋅3=15(f \circ g)'(1) = f'(g(1)) \cdot g'(1) = f'(2) \cdot g'(1) = 5 \cdot 3 = 15 bulunur.
Türev ifadesinde tüm bilinenleri yerine yerleştirerek nihai sayısal sonuca ulaşmak.

Key Concept

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve dıştaki fonksiyonun türevi alınarak içi aynen bırakıldıktan sonra içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

More questions from this topic