Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
1'den farklı pozitif bir xx gerçel sayısı için,
log⁡3(x)⋅log⁡2(x)−log⁡3(x2)−log⁡2(x3)+6=0\log_3(x) \cdot \log_2(x) - \log_3(x^2) - \log_2(x^3) + 6 = 0
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    13
  2. B
    17
  3. 31Answer
  4. D
    35
  5. E
    108

Answer

Eşitliği sağlayan xx değerlerinin toplamı 3131'dir.
Verilen denklemde üs kuralı kullanılarak log⁡3(x2)=2log⁡3(x)\log_3(x^2) = 2\log_3(x) ve log⁡2(x3)=3log⁡2(x)\log_2(x^3) = 3\log_2(x) dönüşümleri yapıldığında denklem ortak çarpan parantezine alınabilecek duruma gelir. Gruplandırarak çarpanlara ayırma işlemiyle (log⁡3(x)−3)⋅(log⁡2(x)−2)=0(\log_3(x) - 3) \cdot (\log_2(x) - 2) = 0 denklemine ulaşılır. Buradan elde edilen log⁡3(x)=3  ⟹  x=27\log_3(x) = 3 \implies x = 27 ve log⁡2(x)=2  ⟹  x=4\log_2(x) = 2 \implies x = 4 değerlerinin toplamı 3131 olur.

Step-by-Step Solution

1
Logaritmanın üs özelli��ini (log⁡b(ak)=k⋅log⁡b(a)\log_b(a^k) = k \cdot \log_b(a)) uygulayarak denklemdeki üslü terimleri düzenlemek.
log⁡3(x2)=2log⁡3(x)\log_3(x^2) = 2\log_3(x) ve log⁡2(x3)=3log⁡2(x)\log_2(x^3) = 3\log_2(x) olarak yazılır. Denklem şu hali alır:
log⁡3(x)⋅log⁡2(x)−2log⁡3(x)−3log⁡2(x)+6=0\log_3(x) \cdot \log_2(x) - 2\log_3(x) - 3\log_2(x) + 6 = 0
Logaritma içerisindeki üsleri katsayı olarak başa alarak denklemi doğrusal logaritmik ifadeler cinsinden yazıp sadeleştirmek için.
2
Elde edilen denklemi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırmak.
log⁡3(x)⋅(log⁡2(x)−2)−3⋅(log⁡2(x)−2)=0\log_3(x) \cdot (\log_2(x) - 2) - 3 \cdot (\log_2(x) - 2) = 0
(log⁡3(x)−3)⋅(log⁡2(x)−2)=0(\log_3(x) - 3) \cdot (\log_2(x) - 2) = 0 elde edilir.
��arpım durumunda sıfıra eşit olan ifadeler yardımıyla her bir logaritmik terimin kökünü ayrı ayrı bulabilmek için.
3
Çarpanları sıfıra eşitleyip logaritma tanımını kullanarak xx değerlerini bulmak ve toplamak.
log⁡3(x)−3=0  ⟹  log⁡3(x)=3  ⟹  x=33=27\log_3(x) - 3 = 0 \implies \log_3(x) = 3 \implies x = 3^3 = 27
log⁡2(x)−2=0  ⟹  log⁡2(x)=2  ⟹  x=22=4\log_2(x) - 2 = 0 \implies \log_2(x) = 2 \implies x = 2^2 = 4
Bulunan xx değerlerinin toplamı: 27+4=3127 + 4 = 31
Logaritma fonksiyonunun tersini alarak gerçel xx değerlerine ulaşmak ve sorunun bizden istediği toplamı hesaplamak için.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunda üs başa katsayı olarak atılır. Farklı tabanlardaki logaritma içeren ifadeler barındıran denklemler, ortak çarpan parantezine alma yöntemiyle çarpanlarına ayrılarak çözülebilir.
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic