Examkin

Question

Difficulty: MediumYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
f(x)=x3−6x2+9x+af(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + a

fonksiyonunun [−1,2][-1, 2] kapalı aralığındaki mutlak maksimum değeri ile mutlak minimum değerinin toplamı 1616'dır.

Buna göre, aa sayısı kaçtır?

  1. A
    66
  2. B
    1010
  3. 1414Answer
  4. D
    1515
  5. E
    1818

Answer

Fonksiyonun [−1,2][-1, 2] aralığındaki mutlak maksimum ve minimum değerlerinin toplamından aa parametresi 1414 olarak bulunur.
Verilen fonksiyonun [−1,2][-1, 2] aralığındaki mutlak maksimum değeri x=1x=1 noktasında a+4a+4 ve mutlak minimum değeri x=−1x=-1 noktasında a−16a-16 olup, bu değerlerin toplamı 2a−12=162a-12=16 eşitliğinden a=14a=14 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alıp kritik noktalarını belirleme
f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3) elde edilir. f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökleri x=1x = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevinin sıfır olduğu veya tanımlı olmadığı kritik noktalarda aranır.
2
Aralığa uygun kritik noktaları seçme
x=3x = 3 noktası [−1,2][-1, 2] aralığının dışında kaldığından elenir. İncelenecek tek kritik nokta x=1x = 1 noktasıdır.
Mutlak ekstremum değerleri bulunurken yalnızca verilen kapalı aralığa ait kritik noktalar değerlendirilmelidir.
3
Sınır noktaları ve aralıktaki kritik noktadaki fonksiyon değerlerini hesaplama
f(−1)=(−1)3−6(−1)2+9(−1)+a=a−16f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 9(-1) + a = a - 16
f(1)=13−6(1)2+9(1)+a=a+4f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + a = a + 4
f(2)=23−6(2)2+9(2)+a=a+2f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) + a = a + 2
değerleri elde edilir.
Kapalı bir aralıktaki mutlak ekstremum değerleri, aralığın uç noktalarında veya bu aralıktaki yerel ekstremum noktalarında gerçekleşir.
4
Mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini belirleyip toplama
En büyük değer a+4a+4 (mutlak maksimum), en küçük değer ise a−16a-16 (mutlak minimum) olur. Toplamları: (a+4)+(a−16)=2a−12(a+4) + (a-16) = 2a-12 olarak bulunur.
Elde edilen değerler karşılaştırılarak en büyük ve en küçük olanlar mutlak ekstremumlar olarak seçilir.
5
Verilen toplam değerini kullanarak bilinmeyeni çözme
2a−12=16  ⟹  2a=28  ⟹  a=142a - 12 = 16 \implies 2a = 28 \implies a = 14 elde edilir.
Soruda verilen mutlak maksimum ve minimum değerlerin toplamının 16 olması bilgisiyle denklem kurulup çözülür.

Key Concept

Kapalı bir aralıkta sürekli bir fonksiyonun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri, aralığın uç noktalarındaki değerleri ile aralık içindeki yerel ekstremum değerleri karşılaştırılarak bulunur.
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic