Examkin

Question

Difficulty: Very hardSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları
f(x)=lim⁡n→∞x2n+1+ax2+bx+cx2n+1f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1} + ax^2 + bx + c}{x^{2n} + 1}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde süreklidir.

f(2)+f(0)=5f(2) + f(0) = 5

olduğuna göre, a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 toplamı kaçtır?

Answer: 19

Answer

Bulunan parametre değerleri a=−3a = -3, b=1b = 1 ve c=3c = 3 olup, bunların kareleri toplamı olan a2+b2+c2=19a^2 + b^2 + c^2 = 19 sayısıdır.
Fonksiyonun gerçel sayılar kümesinde sürekli olması için x=1x=1 ve x=−1x=-1 kritik noktalarında limitlerinin var ve fonksiyon değerine eşit olması gerekir. Bu şartlar sağlandığında parametreler a=−3a=-3, b=1b=1, c=3c=3 olarak bulunur ve karelerinin toplamı 19 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun farklı aralıklardaki limit davranışını analiz etme.
∣x∣>1|x| > 1 için f(x)=xf(x) = x ve ∣x∣<1|x| < 1 için f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c elde edilir.
n→∞n \to \infty iken, ∣x∣<1|x| < 1 durumunda x2n→0x^{2n} \to 0 olur; ∣x∣>1|x| > 1 durumunda ise x2n→∞x^{2n} \to \infty olduğundan pay ve payda x2nx^{2n} ifadesine bölünerek limit hesaplanır.
2
f(2)+f(0)=5f(2) + f(0) = 5 eşitliğini kullanarak cc değerini bulma.
c=3c = 3 olarak bulunur.
2∈(1,∞)2 \in (1, \infty) olduğundan f(2)=2f(2) = 2 olur. 0∈(−1,1)0 \in (-1, 1) olduğundan f(0)=cf(0) = c olur. 2+c=5  ⟹  c=32 + c = 5 \implies c = 3 elde edilir.
3
x=1x = 1 noktasındaki sürekliliği inceleme.
a+b+c=1a + b + c = 1 denklemi elde edilir.
ff fonksiyonu x=1x = 1 noktasında sürekli olduğundan, bu noktadaki sağ limit (lim⁡x→1+f(x)=1\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1) ile sol limit (lim⁡x→1−f(x)=a+b+c\lim_{x \to 1^-} f(x) = a+b+c) eşit olmalıdır.
4
x=−1x = -1 noktasındaki sürekliliği inceleme.
a−b+c=−1a - b + c = -1 denklemi elde edilir.
ff fonksiyonu x=−1x = -1 noktasında sürekli olduğundan, bu noktadaki sağ limit (lim⁡x→−1+f(x)=a−b+c\lim_{x \to -1^+} f(x) = a-b+c) ile sol limit (lim⁡x→−1−f(x)=−1\lim_{x \to -1^-} f(x) = -1) eşit olmalıdır.
5
Denklem sistemini çözme ve kareler toplamını hesaplama.
a=−3a = -3, b=1b = 1 ve a2+b2+c2=19a^2 + b^2 + c^2 = 19 bulunur.
a+b+c=1a+b+c=1 ve a−b+c=−1a-b+c=-1 denklemlerinden 2b=2  ⟹  b=12b=2 \implies b=1 bulunur. c=3c=3 yerine yaz��ldığında a=−3a = -3 elde edilir. Buradan kareler toplamı (−3)2+12+32=19(-3)^2 + 1^2 + 3^2 = 19 olur.

Key Concept

Limit yardımıyla tanımlanan fonksiyonların sürekliliği ve kritik noktalarda süreklilik şartı.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

More questions from this topic