Examkin

Question

Difficulty: HardLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)
aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,
lim⁡x→1x2+ax+b−2x2−1=L\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 + ax + b} - 2}{x^2 - 1} = L
eşitliği veriliyor.
LL sıfırdan farklı bir gerçel sayı oldu��una göre, b+8Lb + 8L ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    1
  2. B
    3
  3. C
    4
  4. 5Answer
  5. E
    7

Answer

İstenen ifadenin değeri 5'tir.
Limitin sıfırdan farklı bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için belirsizlik koşulundan b=3−ab = 3 - a bağıntısı elde edilir. Limitteki belirsizlik eşlenik çarpımı ve sadeleştirme yöntemiyle giderildiğinde 8L=2+a8L = 2 + a sonucuna ulaşılır. Bu iki eşitlik taraf tarafa toplandığında aa terimleri birbirini götürür ve b+8L=5b + 8L = 5 değeri bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Limit değerinin bir gerçel sayı olması için paydanın sıfıra gittiği durumda pay kısmının limitinin de sıfır olması gerektiğini belirleme
x→1x \to 1 için x2−1→0x^2 - 1 \to 0 olduğundan, limitin sıfırdan farklı bir gerçel sayı (LL) olabilmesi i��in lim⁡x→1(x2+ax+b−2)=0\lim_{x \to 1} (\sqrt{x^2 + ax + b} - 2) = 0 olmalıdır. Buradan 1+a+b=2  ⟹  1+a+b=4  ⟹  b=3−a\sqrt{1 + a + b} = 2 \implies 1 + a + b = 4 \implies b = 3 - a elde edilir.
Eğer payın limiti sıfıra eşit olmasaydı, limit değeri gerçel bir sayı olamazdı (sayı/sıfır durumundan dolayı limit tanımsız veya sonsuz olurdu).
2
Elde edilen b=3−ab = 3 - a ilişkisini limit ifadesinde yerine yazarak eşlenik ile çarpma yöntemini uygulama
lim⁡x→1x2+ax+3−a−2x2−1\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 + ax + 3 - a} - 2}{x^2 - 1} ifadesinde payı ve paydayı payın eşleniği olan x2+ax+3−a+2\sqrt{x^2 + ax + 3 - a} + 2 ile çarptığımızda:
lim⁡x→1(x2+ax+3−a)−4(x2−1)(x2+ax+3−a+2)=lim⁡x→1x2+ax−a−1(x2−1)(x2+ax+3−a+2)\lim_{x \to 1} \frac{(x^2 + ax + 3 - a) - 4}{(x^2 - 1)(\sqrt{x^2 + ax + 3 - a} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax - a - 1}{(x^2 - 1)(\sqrt{x^2 + ax + 3 - a} + 2)} elde edilir.
Pay kısmındaki köklü ifadeyi açarak belirsizliğe neden olan ortak çarpanı sadeleştirebilmek amacıyla eşlenik çarpımı yapılır.
3
Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırarak sadeleştirme
Pay kısmındaki ifadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırdığımızda: x2+ax−a−1=(x2−1)+a(x−1)=(x−1)(x+1)+a(x−1)=(x−1)(x+1+a)x^2 + ax - a - 1 = (x^2 - 1) + a(x - 1) = (x - 1)(x + 1) + a(x - 1) = (x - 1)(x + 1 + a) olur. Payda ise x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) olarak çarpanlarına ayrılır. Bu çarpanları yerine yazıp sadeleştirdiğimizde limit:
lim⁡x→1(x−1)(x+1+a)(x−1)(x+1)(x2+ax+3−a+2)=lim⁡x→1x+1+a(x+1)(x2+ax+3−a+2)\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x + 1 + a)}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x^2 + ax + 3 - a} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x + 1 + a}{(x+1)(\sqrt{x^2 + ax + 3 - a} + 2)} haline gelir.
0/0 belirsizliğine neden olan ortak (x−1)(x-1) çarpanını sadeleştirmek.
4
Sadeleşmiş limit ifadesinde x=1x = 1 yazarak LL limit değerini hesaplama
L=1+1+a(1+1)(1+a+3−a+2)=2+a2(2+2)=2+a8L = \frac{1 + 1 + a}{(1+1)(\sqrt{1 + a + 3 - a} + 2)} = \frac{2 + a}{2(2 + 2)} = \frac{2 + a}{8} elde edilir. Buradan 8L=2+a8L = 2 + a bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra limit değerini aa parametresine bağlı olarak bulmak.
5
bb ve 8L8L ifadelerini taraf tarafa toplayarak istenen değere ulaşma
b=3−ab = 3 - a ve 8L=2+a8L = 2 + a eşitliklerini taraf tarafa topladığımızda:
b+8L=(3−a)+(2+a)=5b + 8L = (3 - a) + (2 + a) = 5 bulunur.
aa parametresinden bağımsız olarak b+8Lb + 8L toplamının sabit değerini elde etmek.

Key Concept

0/0 Belirsizliği içeren köklü limit durumlarında eşlenik çarpımı ve çarpanlara ayırma yöntemi kullanılarak belirsizliğin giderilmesi.
Rate this question

Topics

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

More questions from this topic